随机过程概要及概率基础PPT精选文档

1,应用随机过程Appliedstochasticprocesses序言,2,天大教材,随机过程基础（修订版）作者:宋占杰王家生王勇出版社:天津大学出版社（2011)定价:19元,本校书店打折特点:少学时研究生教材,3,天大教学指导书,随机过程学习指导及习题解析作者:王勇程广涛宋占杰出版社:天津大学出版社（2013)定价:15元,本校书店打折特点:少学时研究生教材配套解答,4,考试要求,学术论文40分，联系专业和导师协商，选取SCI杂志论文，最好1、2区，译成中文，近年以内。(硕士SCI即可）考勤10分，缺课1次不扣，一次以上每次扣2分，扣完为止，不倒扣。迟到2次算1次。闭卷考试50分，选自之后习题。,5,二、随机数学发展概述,随机现象内在规律偶然性必然性,6,3随机过程,Brown运动:1827年，Brown在显微镜下发现花粉的无规则运动,将此奇怪现象公诸于世,无人能解释原因.1900年，法国数学家Bachelier给出一维Brown运动粗略模型,其博士论文为投机的理论，研究证券价格的涨落，开创近代金融数学的先河，但他的结果几十年之后才得到认可.1905年,Einstein首次进行量化分析,认为花粉运动源自分子无规则热运动,每秒碰撞次.Wiener1918年发表系列论文,成功解决这一问题,故称WienerEinstein过程.,7,Markov过程(18561922):十九世纪末用矩阵研究马氏链,开始随机过程理论.Erlang因研究电话问题得到了Poisson过程,创立了排队论.Feller研究了生灭过程.平稳过程:从辛欣研究大数定律开始，1934年完成.鞅论:莱维（Levy.PaulPierre,1886-1971）19301955年创立.杜悖(J.Doob)研究停时.随机积分:伊藤清(1915日),87年获Wolf奖,97年有人因研究Ito微分方程的解而获诺贝尔经济奖.最优停时:1名秘书,100人应征,如何选?Gilbert和Mosteller1966年证明37%规则,前37个不要,第38个后开始超过前面就定下来,选中最优率为1/e=0.367879.而随机取这一结果仅1%.,8,三、初步概率论,9,四、随机过程定义及分类,1、定义定义域值域T(E,B)(,F,B)E：状态空间,相空间,E中元素叫状态.一般为实数或复数.B为Borel可测集全体,10,2、分类按定义域、值域分：（1）T及E都可列（2）T可列，E非可列（3）T及E都非可列（4）T非可列，E可列其中T可列，即（1）、（2）为随机序列（时间序列）.其中E可列,即（1）、（4）为可列过程,E为有限集时为有限过程.,11,按概率关系分（1）Markov过程独立增量过程Poisson过程Wiener过程（2）正态过程,二项过程,负二项过程（3）平稳过程,宽平稳过程(白噪声)（4）鞅我国王梓坤为概率第一人.,12,应用随机过程Appliedstochasticprocesses第一章概率论的基本知识,13,第一章,1.1.概率空间一、随机试验：可重复性（同一条件）结果多个（不唯一）试验前未知二、样本空间：随机事件A为的子集.：样本点=全体三、定义域、事件域（代数）1、2、3、见下面,14,3、可列并封闭可测空间：信息全体,四、值域、事件概率,1、(非负性)2、(规范性)3、，(可列可加性),15,五、称概率空间，广义测度不保证非负,不保证为1.六、性质1、单调不减2、对立事件和为13、，有限可加性4、无限次可加,16,七、选取方法有穷为子集全体可列为子集全体不可列为Lebesgue可测八、极限事件1、递增事件列：，2、递减事件列：，,17,九、P的连续性（P与lim可交换顺序）,证明：,18,可列可加正项级数收敛(不超过1)考虑部分和数列等价替换(后半部分用对偶律),19,十、调和级数实例.,20,十一、统计物理模型解一（Maxwell-Boltzman)质点可分辨，处于每个状态的质点个数任意。,解三（Fermi-Dirac)质点不可分辨，每个状态只有一个质点。适于电子、中子、质子等Fermi子。,解二（Bose-Einstein)质点不可分辨，处于每个状态的质点个数任意。适于光子、介子、核子等Bose子。,21,1.2随机变量,随机变量X分布函数:满足：()单调不减；()右连续；()；()；,22,一、存在性命题：设是单调不减，右连续的函数，且有，则必存在概率空间及其上的一个随机变量，使。证明：（略）,离散的：,连续的：,23,二、命题已给n元函数，满足：()对任一是单调不减的，()对任一是右连续的，(),24,()设，则,则必存在概率空间及其上的随机向量，使的分布函数,25,注意:()不能由()、()、()推出反例：定义,满足()、()、()，但是对,26,三、(联合分布唯一确定边沿密度,反之不成立.)此例两个密度函数显然不同，密度函数非零区域相同.边缘密度如下:,27,X边缘密度:利用密度函数的轮换对称性,可得Y边源密度也相同均为1/2+y.,28,四、事件独立：,n个事件独立，个表达式。,随机变量独立：独立，要求联合密度为边缘密度之积，即：命题1.2.5至1.2.7知道结果就行.,其中，,29,五、随机变量相互独立,六、若随机变量相互独立，为可测函数，则也相互独立.,30,例:已知n阶正定对称矩阵B，,是n维随机变量的密度。式中表示B的行列式的值，表示矩阵C的转置矩阵，表示矩阵B的逆矩阵。下面证明,因为B对称正定，故存在正交阵T，使：,31,其中是B的特征值且。,作变换,右乘T,可得因为，,32,33,所以,是n维正态分布的密度函数.,例:事件A的示性函数:,34,1.3随机变量的数字特征,一、数学期望（mean,mathematicalexpectation),连续型（绝对可积条件下）,离散型（绝对收敛条件下）,抽象积分：,35,二、随机变量函数的期望,三、矩（moment）,1、普通k阶矩,2、k阶绝对矩,3、k阶中心矩,物理上，一阶矩是重心，二阶矩是转动惯量。,36,四、方差（二阶中心矩，variance）,方差表示稳定性：方差大，风险大；方差小，风险小。,五、n维随机向量,是n维随机向量，分布函数为，为n维Borel函数，则：,37,六、协方差（二阶混合中心矩，covariance）,随机向量，协方差阵：,七、相关系数（correlationcoefficient）,注：Holder不等式，实变函数或应用数学基础。,38,八、相关系数的性质1、2、独立3、以概率1线性相关注：由得不到独立。下有反例.,39