《分式》复习讲义

课时一：初中数学课时一：初中数学分式分式复习讲义复习讲义 知识考点： 分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复 杂，方法比较灵活。了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行 分式的约分、通分及计算是解题的关键。 精典例题： 【例 1】 （1）当为何值时，分式有意义？x 2 1 2 2 xx x （2）当为何值时，分式的值为零？x 2 1 2 2 xx x 分析：判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式； 在分式中，若 B0，则分式无意义；若 B0，则分式有意义；分式的值 B A B A B A B A 为零的条件是 A0 且 B0，两者缺一不可。 答案：（1）2 且1；（2）1xxx 【例 2】计算： （1） 2 1 2 2 4 2 a a a a （2）2 2 2 x x x （3） xx x x x x2 4 2 12 1 2 分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘 方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把 当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，2 x 结果要化为最简分式或整式。 答案：（1）；（2）；（3） 2 1 a2 4 x1 2 x x 【例 3】计算： （1） x yx yx x yx yxx 3 2 3 2 （2） 42 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxx 分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。 （1）题可 以将看作一个整体，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分yx yx 的方法，即先算，用其结果再与相加，依次类推。 xx 1 1 1 1 2 1 2 x 答案：（1）；（2） yx x 2 8 1 8 x 探索与创新： 【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题： 初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较与的大小，可先求出与的差，再abab 看这个差是正数、负数还是零。 ”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们 的差就可以了。 试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同） ， 甲每次购买粮食 100 千克，乙每次购粮用去 100 元。 （1）假设、分别表示两次购粮的单价（单位：元千克） 。试用含、的代xyxy 数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千 克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克元，乙两次购粮的平均单价为每千克 1 Q 元，则 ； 。 2 Q 1 Q 2 Q （2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人 的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。 跟踪训练： 一、填空题： 1、当 时，分式有意义。x 4 2 2 x x 当 时，分式的值为零。x 1 87 2 x xx 当 时，分式的值为负数。x x x 612 1 2 当 时，分式的值为1。x x x 32 2 2、计算： 。 x x 1 1 2 。 2 3 2 x y x y y x 。 mn n nm m 22 。1 1 1 2 a a a 3、已知。则分式的值为 。3 11 yxyxyx yxyx 2 232 4、若0，则 。x 3 1 3 1 xx 5、若分式的值是整数，则整数的值是 。 1x x x 6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值： 。 1 1 2 2 23 x x xx xx 二、选择题： 1、在代数式、中，分式的个数是（ 13 x x 2 1 2 x 2 3 y x 2 3 a ba 1 1 2 x x a ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2、已知的值为零，则的值是（ ） 96 32 2 2 xx xx 2 x A、1 或 B、1 或 C、1 D、1 9 1 9 1 3、甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混 m 1 n 1 合制成新盐水的含盐量为（ ） A、 B、 C、 D、随所取盐水重量而定 mn nm 2 mn nm mn 1 三、计算题： 1、 2 5 2 2 3 x x x x 2、 42 1 444 1 22 xx x xx 3、 12 22 2 22 n mn nm nmn nmnm nm 4、 2 1 1 1 1 1 2 84 22 2 aaa a a a aa aa 四、阅读下面题目的计算过程： xx x 1 2 1 3 2 11 12 11 3 xx x xx x 123xx 223xx 1 x （1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。 五、问题探索： （1）已知一个正分数（0） ，如果分子、分母同时增加 1，分数的值是增 m n mn 大还是减小？请证明你的结论。 （2）若正分数（0）中分子和分母同时增加 2，3（整数0） ，情 m n mnkk 况如何？ （3）请你用上面的结论解释下面的问题： 建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地 板面积的比应不小于 10，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等 的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。 分式方程增根例析分式方程增根例析 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时， 有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根） ，因此解分式方程要验根（其方法是把求 得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 精典例题： 【例 1】解方程0. xx 4 1 5 解解：方程两边同乘 x（x+1） ，得 5x-4（x+1）=0. 化简，得 x-4=0. 解得 x=4. 检验：当 x=4 时，x（x+1）=4（4+1）=200， x=4 是原方程的解. 【例 2】解方程 1 1 4 1 1 2 x x x 解：原方程可化为， 1 ) 1)(1( 4 1 1 xxx x 方程两边同乘（x+1） （x-1） ，得（x+1）2-4=（x+1） （x-1）. 化简，得 2x-3=-1.解得 x=1. 检验：x=1 时（x+1） （x-1）=0，x=1 不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【点评】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例 3】 解方程. 5 1 6 1 4 1 7 1 xxxx 解：原方程可变形为. 4 1 6 1 5 1 7 1 xxxx 解得 x=. 2 11 检验：当 x=时， （x-7） （x-5） （x-6） （x-4）0， 2 11 所以 x=是原方程的解. 2 11 【点评】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单 解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程 等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫 做“分组通分法”. 【例 4】 若关于 x 的方程有增根 x=-1，求 k 的值. x x k x xx k 222 51 1 1 解：原方程可化为. ) 1( 5 ) 1( 1 ) 1)(1( 1 xx k xxxx k 方程两边同乘 x（x+1） （x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5） （x-1）. 化简，得 3x=6-k. 当 x=-1 时有 3（-1）=6-k，k=9. 【点评】 因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增 根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式 方程的增 根问题的解题步骤通常为：去分母，化分式方程为整式方程；将增根代入整式方程 中，求出方程中字母系数的值 解分式方程误区点拨解分式方程误区点拨 一、漏乘公分母一、漏乘公分母 【例 1】解方程. 2 3 1 3 2 xx x 错解：方程两边都乘以（x-3） ， 得 2-x=-1-2， 解这个方程，得 x=5. 错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时， 应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2 这一项没有乘以（x-3） ，另外，求到 x=5 没有代入原方程中检验. 正解：方程两边都乘以（x-3） ，得 2-x=-1-2（x-3） ，解得 x=3 检验：将 x=3 代入原方程，可知原方程的分母等于 0，所以 x=3 是原方程的增根，所 以原方程无解. 二、去分母时漏添括号二、去分母时漏添括号 【例 2】解方程. 0 1 1 1 3 2 x x 错解：方程化为0， 1 1 ) 1)(1( 3 xxx 方程两边同乘以（x1） （x1） ，得 3-x-1=0，解得 x=2. 所以方程的解为 x=2. 错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错 解在没有用括号将（x1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验. 正解：方程两边都乘以（x1） （x1） ， 得 3-（x1）=0， 解这个方程，得 x=4 检验:当 x=4 时，原方程的分母不等于 0，所以 x=4 是原方程的根. 探索与创新： 【问题】1已知方程有增根，确定字母系数值已知方程有增根，确定字母系数值 例 1：若方程有增根，则 m 的值为 （ ） 3 2 3 x m x x A 3 B3 C0 D以上都不对 2已知方程无解，确定字母系数值已知方程无解，确定字母系数值 例 2：若方程无解，则 m 的值为 （ ）1 3 2 3 23 x mx x x A 1 B3 C1 或 3 D1 或 5 3 3已知方程无增根，确定字母系数值已知方程无增根，确定字母系数值 例 3：若解关于 x 的方程不会产生增根，则 k 的值为 （ 111 2 x x x k x x ） A2 B1 C不为2 的数 D无法确定 变式： 1. 若关于的方程有增根，则的值为_.x 1 10 1 ax x a 2. 若关于的方程无解，则的值是_.x 2 2 33 xm xx m 3.关于 x 的方程-2=有一个正数解，求 m 的取值范围_ 3x x 3x m 4.甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他们同时加工 1500 个零件，甲比乙 2 1 2 提前 18 个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件？ 跟踪训练： 一、选择题：一、选择题： 1方程的解为 ( ) 1 32 xx (A)2(B)1(C)2(D)1 2解分式方程可得结果 ( ), 1 2 1 1 2 xx (A)x1(B)x1(C)x3(D)无解 3要使的值和的值互为倒数，则 x 的值为 ( ) 5 4 x x x x 4 24 (A)0(B)1(C)(D)1 2 1 4已知若用含 x 的代数式表示 y，则以下结果正确的是 ( ), 4 3 2 1 y y x x (A)(B)yx2 3 10 x y (C)(D)y7x2 3 10 x y 5若关于 x 的方程有增根，则 k 的值为 ( ) x k x 1 1 1 3 (A)3(B)1(C)0(D)1 6若关于 x 的方程有正数解，则 ( ) 3 2 3 x m x x (A)m0 且 m3(B)m6 且 m3 (C)m0(D)m6 7完成某项工作，甲独做需 a 小时，乙独做需 b 小时，则两人合作完成这项工作的 80，所需要的时间是( ) (A)小时(B)小时)( 5 4 ba ) 11 ( 5 4 ba (C)小时(D)小时 )(5 4 ba ab ba ab 8a 个人 b 天可做 c 个零件(设每人速度一样)，则 b 个人用同样速度做 a 个零件所需 天数是 ( ) (A)(B)(C)(D) c a2 2 a c a c2 2 c a 二、填空题：二、填空题： 9x_时，两分式与的值相等 4 4 x1 3 x 10关于 x 的方程的解为_3 2 4 b xa 11当 a_时，关于 x 的方程的根是 1 4 532 xa ax 12若方程有增根，则增根是_1 1 4 1 1 2 xx x 13关于 x 的方程的解是负数，则 a 的取值范围为_1 1 x a 14一艘轮船在静水中的最大船速为 20 千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为 v 千米/时，则它以最大航速顺流航行 S 千米所需的时间是_ 二、解方程：二、解方程： 1516 . 3 2 1 2 1 xx x 1 2 1 1 4