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.,第1节矩阵的特征值与特征向量,第4章矩阵的特征值,一、特征值与特征向量的概念,二、特征值和特征向量的性质,.,说明,一、特征值与特征向量的概念,.,说明,.,.,.,.,4.特征向量的求法：,为方阵A的一个特征值，,则由,可求得非零解,的基础解系，,的特征向量,.,注意特征方程,有相同的,特征根；,A的对应于特征值的特征向量是,的非零解，,的非零解.,也是方程组,.,1.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,注意,2.一个特征值具有的特征向量,不唯一；,.,解,例1,.,.,例1,.,解,.,.,得基础解系为：,.,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,.,性质1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.,二、特征值和特征向量的性质,证明,.,是A的n个特征值，则,A的迹，tr(A),.,性质3:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A,有一个特征值为零.,证必要性若A是奇异矩阵，则,即0是A的一个特征值.,充分性设A有一个特征值为0，,对应的特征向量为p,由特征值的定义，有,所以齐次线性方程组Ax=0有非零解p,由此可知|A|=0,即A为奇异矩阵.,.,性质3:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A,有一个特征值为零.,推论,n阶矩阵A可逆，当且仅当它的任一特征值,不为零.,.,例3设是方阵A的特征值,证明,推广,.,例3设是方阵A的特征值,证明,.,例3设是方阵A的特征值,证明,(1),.,例3设是方阵A的特征值,证明,（2）,是kAm的特征值,（3）,是AA2的特征值,结论,的特征值是,若是方阵A的特征值,则,.,的特征值是,若是方阵A的特征值,则,结论,若是方阵A的特征值,则,.,例4设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,求,解因A的特征值全不为0，知A可逆，故,.,定理1n阶矩阵A的互不相等的特征值,对应的特征向量,线性无关.,.,性质：一个特征向量不能属于不同的特征值,.,按题设，有,.,是矩阵A的两个不同的特征值
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