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文档简介
.,第1节矩阵的特征值与特征向量,第4章矩阵的特征值,一、特征值与特征向量的概念,二、特征值和特征向量的性质,.,说明,一、特征值与特征向量的概念,.,说明,.,.,.,.,4.特征向量的求法:,为方阵A的一个特征值,,则由,可求得非零解,的基础解系,,的特征向量,.,注意特征方程,有相同的,特征根;,A的对应于特征值的特征向量是,的非零解,,的非零解.,也是方程组,.,1.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,注意,2.一个特征值具有的特征向量,不唯一;,.,解,例1,.,.,例1,.,解,.,.,得基础解系为:,.,求矩阵特征值与特征向量的步骤:,.,性质1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.,二、特征值和特征向量的性质,证明,.,是A的n个特征值,则,A的迹,tr(A),.,性质3:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A,有一个特征值为零.,证必要性若A是奇异矩阵,则,即0是A的一个特征值.,充分性设A有一个特征值为0,,对应的特征向量为p,由特征值的定义,有,所以齐次线性方程组Ax=0有非零解p,由此可知|A|=0,即A为奇异矩阵.,.,性质3:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A,有一个特征值为零.,推论,n阶矩阵A可逆,当且仅当它的任一特征值,不为零.,.,例3设是方阵A的特征值,证明,推广,.,例3设是方阵A的特征值,证明,.,例3设是方阵A的特征值,证明,(1),.,例3设是方阵A的特征值,证明,(2),是kAm的特征值,(3),是AA2的特征值,结论,的特征值是,若是方阵A的特征值,则,.,的特征值是,若是方阵A的特征值,则,结论,若是方阵A的特征值,则,.,例4设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,求,解因A的特征值全不为0,知A可逆,故,.,定理1n阶矩阵A的互不相等的特征值,对应的特征向量,线性无关.,.,性质:一个特征向量不能属于不同的特征值,.,按题设,有,.,是矩阵A的两个不同的特征值
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