阅读与思考对数的发明 (7).ppt

2.2.1对数与对数运算,一、对数：,1.对数的概念：,注：,1.对数式可看作一种记号，表示关于的方程的解。,2.也可以看作一种运算，即已知底为幂为，求幂指数的运算。,3.对数式可看作幂运算的逆运算。,练习：,1.若，则（）,2.的底数是，真数是。,2.常用对数和自然对数：,(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为。,(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为。,练习：,与的底数分别是（）,3.对数与指数的关系：,当且时，,练习：,化为指数式是（）,4.对数的基本性质：,(1)负数和零没有对数,练习：,1.在中，实数的取值范围是（）,。,5.对数恒等式：,证明：设，则，由指数函数的单调性知：,证明：由,得,将代入得：,例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：,解：,例2：求下列各式中的值：,解：,又,于是：,于是：,例3：已知，求的值,解：,又且,二、对数的运算：,1.由于,设,由对数的定义，得：,2.由于,设,由对数的定义，得：,由对数的定义，得：,3.设，则,即：,总结:如果，且，那么：,注：,1.一般情况下：,练习：,1.的值为（）,2.的值为（）,例4：用表示下列各式：,解：,例5：求下列各式的值：,解：,例6：计算下列各式的值：,解：,三、换底公式：,证明：设，由对数定义知道，,两边取为底的对数，,得,，即,注：,练习：,。,例8：20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：,其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）,解：,这是一次约为里氏4.3级的地震。,(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）。,解：由可得：,当时，地震的最大振幅为；,当时，地震的最大振幅为；,两次地震的最大振幅之比为：,即7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。,例9：生物体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%。试推算马王堆古墓的年代。,解：我们先推算生物死亡年后每克组织中的碳14含量。设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数与其体内每克组织的碳14含量有如下关系：,因此，生物死亡年后体内碳14的含量,由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，,于是，,这样生物死亡年后体内碳14的含量,由对数与指数的关系，指数式可写成对数式,湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即，那么：,由计算器可得：,马王堆古墓是近2200年前的遗址。,例10：已知，求（用表示）