2.3 线性常系数齐次递推关系.ppt

2.3线性常系数齐次递推关系,主讲教师数学学院魏毅强教授联系电mail:weiyiqiang,2,2.3线性常系数齐次递推关系,2.3.1定义,定义2.3.1形如an+c1an-1+c2an-2+ckan-k=0,(nk-1)(其中c1,c2,ck是常数，ck0，k是正整数)的递推关系称为k阶线性常系数齐次递推关系。,称a0=d0，a1=d1，ak-1=dk-1为初值条件。,例如Fibonacci数列满足Fn-Fn-1-Fn-2=0，(n2)为2阶线性常系数齐次递推关系。,an-3an-1-2an-2+4an-3=0是三阶线性常系数齐次递推关系,例如，an+3an-1+2an-2=0是二阶线性常系数齐次递推关系,3,2.3线性常系数齐次递推关系,定义2.3.2给定k阶线性常系数齐次递推关系an+c1an-1+c2an-2+ckan-k=0,(ck0，nk-1)记C(x)=xk+c1xk-1+c2xk-2+ck称为线性常系数齐次递推关系的特征多项式，而称C(x)=0为特征方程。,例如Fibonacci数列所满足的2阶线性常系数齐次递推关系Fn-Fn-1-Fn-2=0，(n2)的特征方程为x2-x-1=0。,例如，an+3an-1+2an-2=0的特征多项式为x2+3x+2=0,an-3an-1-2an-2+4an-3=0的特征多项式为x3-3x2-2x+4=0,4,根据递推关系，有,2.3.2线性常系数齐次递推关系的母函数方法,设an的母函数为G(x),设an满足k阶线性常系数齐次递推关系,2.3线性常系数齐次递推关系,5,将这些式子两边分别相加，得到,即,其中C0=1,令,为次数不超过k-1的多项式,也称为特征多项式,由于，,2.3线性常系数齐次递推关系,6,如果C(x)=0在复数域中有k个根。设,则,于是,2.3线性常系数齐次递推关系,7,上式是有理式，且分子的次数低于分母的次数，是真分式，可分项表示为：,其中Ast,s=1,2,i;t=1,2,ks为待定常数,2.3线性常系数齐次递推关系,8,注意到,一般地,2.3线性常系数齐次递推关系,9,于是,其中xn的系数,其中Bs为待定系数，由初值条件唯一确定,2.3线性常系数齐次递推关系,10,例2.3.1求an-an-1-6an-2=0,a0=5,a1=3的解,设母函数为,解,代入递推关系有,2.3线性常系数齐次递推关系,11,所求解为,2.3线性常系数齐次递推关系,12,例2.3.2求an-4an-1+4an-2=0,a0=1,a1=3的解,设母函数为,解,代入递推关系有,2.3线性常系数齐次递推关系,13,所求解为,2.3线性常系数齐次递推关系,14,2.3线性常系数齐次递推关系,2.3.3线性常系数齐次递推关系的特征根方法,由母函数方法可知k阶线性常系数齐次递推关系,的解可表示为,其中Bs(n)为待定系数的n的ks-1次多项式，由初值条件唯一确定,其中i是特征方程C(x)=xk+c1xk-1+c2xk-2+ck=0的ki重特征根,15,以下分别各种情况讨论具体计算的问题。,特征多项式无重根,则,比较系数得,2.3线性常系数齐次递推关系,16,其中Aij为待定系数可由以下线性方程组解得,由于系数矩阵的行列式是Vandermond行列式，所以方程组有唯一解,2.3线性常系数齐次递推关系,17,例2.3.3求an-an-1-12an-2=0,a0=3,a1=26的解,特征方程x2-x-12=0,根为:x=4x=-3,故通解为,解,由初值条件,解得,所求解为,2.3线性常系数齐次递推关系,18,则xn的系数是,特征多项式有共轭复根,设1与2是一对共轭复根，设,2.3线性常系数齐次递推关系,19,其中,在具体计算时，可先求出各对共轭复根，再求待定系数A，B，避免中间过程的复数运算。,例2.3.4求an-an-1+an-2=0,a0=1,a1=1的解,特征方程2-+1=0,解,根为:,故通解为,2.3线性常系数齐次递推关系,20,由初值条件,解得,所求解为,2.3线性常系数齐次递推关系,21,特征多项式有重根,设是C(x)=0的k重根，则由母函数方法，简化后含有,其中xn的系数,其中Bi为待定系数，由初值条件唯一确定,2.3线性常系数齐次递推关系,22,例2.3.5求下列n阶行列式的值。,解,根据行列式性质,按第一行展开,并且有初值,2.3线性常系数齐次递推关系,23,问题变成线性常系数齐次递推关系,故通解为,由初值条件,解得,所求解为,2.3线性常系数齐次递推关系,24,总之：,若是特征方程C(x)=0的单根，则递推关系的解中含有项,若是特征方程C(x)=0的k重根，则递推关系的解中含有项,若1,2是一对k重共轭复根，且,则递推关系的解中含有项,2.3线性常系数齐次递推关系,25,2.3线性常系数齐次递推关系,例2.3.6求,同理,相减得,同理,再相减得,26,所以，得到递推关系,对应的特征方程为,2.3线性常系数齐次递推关系,m=1是三重根，故通解为,27,即,这就证明了,2.3线性常系数齐次递推关系,由初值条件，得,28,ThankYou!,ByeBye!,29,例2：求,同理,相减得,2.3线性常系数齐次递推关系,30,同理,对应的特征方程为,相减得,同理,2.3线性递推关系,31,是四重根,依据得关于A、B、C、D的连立方程组：,2.3线性递推关系,32,2.3线性递推关系,33,已知是n的3次式，故不妨令,确定待定系数时，比较方便，无需解一联立方程组。例如,2.3线性递推关系,34,2.3线性递推关系,35,例4：求,解:是n的3次多项式，因此是满足递推关系：,设,2.3线性递推关系,36,2.3线性递推关系,37,以n=5对上面的结果验证一下,2.3线性递推关系,38,例5：求中的系数。,解：的特征多项式是,2.3线性递推关系,