数学花园探秘(迎春杯)六年级初赛试题及详解

96 2017 年“数学花园探秘”科普活动 六年级组初试试卷 一、 填空题 I（每题 8 分，共 32 分） 1、算式（ 1 36 - 1 54 + 1 72 - 1 108 ）2016+12+3 的计算结果是_. 2、相邻两个自然数，如果他们的数字和都是 8 的倍数，我们就称他为“8 和数组”，那么最 小的一组“8 和数组”中两数之和是_. 3、侠客岛的人，原来有1 3 是卧底，后来卧底中有 30%的人被驱离出岛，而不是卧底的人有 13 转变成了卧底。如果侠客岛上现在还有 810 人，那么现在侠客岛上有_人是卧底。 4、如图，一道除法竖式中已经填出了“2017”，那么被除数是_. 二、填空题 II（每小题 10 分，共 40 分） 5、今年“天宫二号”成功发射，中国科学家在太空进行植物生长实验，如果一种奇怪的 植物，它的生长之和温度有关，如果某一天的温度是 n 摄氏度，那么该株植物在当天增重 n2 克。5 天过去，这株植物共增重 88 克，已知这 5 天太空舱里的温度的数值都是互不相同的飞 0 自然数，且前 3 天的总增重量都不是 3 的倍数，则第 3 天的气温是_摄氏度。 6、如图，在一直角三角形中，剪掉一个最大的半圆，使得半圆的直径在斜边 AB 上，已知 AC 长 210 厘米，BC 长 280 厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米。（ 取 3.14） 7、甲、乙、丙三人同时从 A 出发匀速向 B 行走；甲到了 B 之后立即调头，与乙相遇在距 离 B 地 100 米的地方；甲再行 120 米与丙相遇时，乙恰好到 B，那么此时甲共行了_米。 97 8、如图，由 54 根直线型管道搭成的大正方体框架，一只蚂蚁要从 A 点处在管道内部爬过 6 根管道首次达到 B 点处，已知这只蚂蚁在爬行过程中没有走过回头路，且相连的管道都是 相通的，那么这只蚂蚁共有_种可能的爬行路线。（翻转或旋转后相同的路线视为不同的 路线） 三、填空题 III（每题 12 分） 9、如图，正方形 ABCD 的面积为 64 平方厘米，图中 AE=AF=BG=BH,如果三角形 AEF 和三 角形 BGH 的面积都是 27.5 平方厘米，那么，梯形 GFAB 的面积是_平方厘米。 10、从 1 至 9 这 9 个数字中选出 4 个不同数字，组成一个四位数，使得这个四位数能被 未选出的 5 个数字整除，而不能被选出的 4 个数字整除，那么，这个四位数是_. 11、在空格里填入数字 1 至 6 中的某个数字，使得每行、每列和每个 23 的宫内的数字 不重复，图中两格之间的分数表示两个数中较小数除以较大数得到的商，那么，最后一行从 左到右前五个数组成的五位数是_. 98 2017 年“数学花园探秘”解析 1. 答案：43 解析：原式= 1 18 （ 1 2 - 1 3 + 1 4 - 1 6 ）2016+15= 1 18 1 4 2016+15=43 提取公因数是重要考点，该题设计到分数的提取公因数，较为创新，如果直接通分会 占用更多时间。 2. 答案：159 解析：相邻自然数形成为较小数+1=较大数。若该算式没有发生进位，则 数字之和也相差 1，那么，较小数的末位为 9，经过枚举，最小的一组为 79 和 80.两 数和为 159. 3. 答案：410 解析：由于卧底的 30%被驱离出岛，相当于原来的1 3 30%= 1 10 被驱离， 那么 810 人相当于原来人数的 1- 1 10 = 9 10 ，则原来人数为 810+ 9 10 =900 人，那么现在 还剩下的卧底有 9001 3 （1-30%）+900（1- 1 3 ） 1 3 =410 人 4. 答案：73807 解析：由阶梯型可以得到只能是 100-91=9，若 91 是由 137 得到的， 那么第一层乘积为2一定是得不到的，所以只能是 911 得到的，那么除数为 91， 进一步推理得到商为 811，那么被除数是 73807 5. 答案：3 解析：该题的本质是找到 5 个互不相同的平方数，使得他们的和为 88， 由于平方数除以 3 的余数只能是 0 或 1，要使得最终的和为除以 3 余 1 的数（88）， 那么有两种情况，要么除以 3 余 1，1，0，1，1；要么除以 3 余 0，0，1，0，0.显然 后一种情况可以排除，因为最小的 4 个除以 3 余 0 的平方数的和已经超过 88 （3 2+62+92+122）.第一种情况的 5 个平方数只能从 1，4，9，1625，36，49 当中选取 （若有 64，则和最小也为 1+4+9+16+64，超过 88），注意到 9 和 36 只能取 1 个,那么 只能为 1+4+9+25+49=88，那么第三天的温度一定是除以 3 余 0 的那个数，也就是 3 （9=3 2）.本题最大的困难在于题目的理解，将题转化成我们比较熟悉的数论模型之后 就容易很多，如果能用上平方数的性质可以节省很多做题时间。 6. 答案：6792 解析：如下图，设圆心为 O，圆与两直角边的交点分别为 M 和 N，连 接 OM 和 ON，设圆的半径 OM=ON=r，则由金字塔模型可得BM BC = OM CA ,即 280-r 280 = r 210 ， 解得 r=120，那么阴影部分的面积是 2802101 2 - 1 2 120 2=6792 7、答案：1320 米 解析：如下图所示，两个过程，BC=100 米，CD=120 米，通过 可以得到 v甲v乙=120 100 = 6 5 ，通过可以设 AC=5 份，AB+BC=6 份，那么 BC=0.5 份=100 米，所以 1 份=200 米，全长 AB=5.5 份=1100 米，那么甲共行 1100+100+120=1320 米 99 比例法解行程，此题比以往考查的行程问题要稍微容易一些，只要找到速度之比就可 以迎刃而解。 8、答案：124 解析：通过俯视图可以知道，从 A 到 B 需要经过 4 根管道，但是题 目要求经过 6 根管道，故而分成两种情况，第一种是指在中间这个平面移动，第二种 是经过上平面或者下平面。第一种情况可以轻易数出只有 4 种。 第二种情况，需要上下爬行一次，那么水平爬行还是 4 根管道，通过俯视图标数可以 知道水平移动要经过 5 个点，而且标出爬到 B 的爬行情况。最后加上需要在五个点内 选两个点上下，一定是靠近 A 的点向下、靠近 B 的点向上或者靠近 A 的点向上、靠近 B 的点向下两种情况，所以是 6C5 22=120，两种情况相加 120+4=124 种。 9、答案：40 解析：正方形边长为 8，连接 HE，由于 AE=AF=BG=BH,可得 AH=DF=CG=BE SBHG=S正 ABCD-SABH-SBCG-SDHG =S正 ABCD-S长 ABEH-SDHG =S梯 GCEH=27.5 设 GC 为 x，CE 为 8-x，可列方程（8+x）（8-x）1 2 =27.5，解得 x=3 S梯 GFAB=S正 ABCD-SAFD-SBCG=S正 ABCD-S长 ABEH=S长 DCEH=8（8-3）=40 10、答案：5936 解析：1、5 必须取，否则一定不是 5 的倍数；2、2 不能取，不然 4、6、8 就必须取，再加上 5 就五个数了，2 不能取，就意味着必须是偶数那么 4、 6、8 至少取一个，要么取 8、要么取 6； 3、如果取 8，那么 4 必须取，否则 XYZ8 (Z 为奇)一定不是 4 的倍数，进而发现无数可取，否则必然不是 3 的倍数或 者能被本身的数整除； 4、那么必须取 6，进而必须取 3、9，这样我们取的数就 是 3、6、9、5； 5、为了是 8 的倍数则末尾必须为 6，剩下的 3 个数，共可组 成 6 个四位数，逐一枚举尝试，得到最终结果 5936 11、答案：23514 解析：1、根据第一行的 1、5，所以第一行的 1、5 只能在第一宫内， 那么 2 宫右上只能是 2，那么右下是 5 2、根据第三宫的 4/5，只能是 4 和 5 两个数，那么第三宫右下只能是 3，第五宫右 上必须是 4，然后第一宫的左上不能是 5 只能是 1，那么第一宫的中上只能是 5 3、根据第一列的 1/3 只能是 2、6 因为 1 在第一行第一个，那么第一宫左下只能是 3 4、根据第一宫还剩下 2、4、6，第三宫 3 已填，所以过第一、三宫的 2/3 只能是 4、6，第三宫的 4 在第一列，故第一宫中下是 4，第三宫中上是 6，并且 可以