2014-2015年度朝阳高三一模数学理科试卷

.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学答案（理工类） 20154一、选择题（满分40分）题号12345678答案C C B AD A B C二、填空题（满分30分）题号91011121314答案72 ;（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题（满分80分）15.（本小题满分13分）解：（）由已知，函数 + .函数的最小正周期为.当时（），即时，函数为减函数.即函数的单调减区间为，. .9分（）由是函数图象的对称轴，则（），即，.则.则. .13分16. （本小题满分13分）解：（）由茎叶图可知，分布在之间的频数为4，由直方图，频率为， 所以全班人数为人所以分数在之间的人数为人.分数在之间的频率为 .4分（）由（）知，分数在之间的有10份，分数在之间的人数有份，由题意，的取值可为， ， ， 所以随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望为.13分17.（本小题满分14分）解：（）因为平面平面，所以平面，同理，平面，又所以平面平面，因为平面所以平面. .4分（）因为平面平面，平面平面=， ，平面， 所以平面.又平面，故. 而四边形为正方形，所以又，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.设，则，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，即，令，则， 所以.设平面与平面所成锐二面角的大小为，则. .9分所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.()若与重合，则平面的一个法向量，由（）知平面的一个法向量，则，则此时平面与平面不垂直.若与不重合，如图设，则，设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，若平面平面等价于，即所以.所以，上存在点使平面平面，且.14分18. （本小题满分13分）解：（）函数的定义域为.当时，.由解得；由解得.所以在区间单调递减, 在区间单调递增.所以时,函数取得最小值. .5分（）,.（1）当时，时,为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（）当时，由于，令，则在上有一个零点；（）当时，即时，有一个零点；（）当时，即时，无零点.（）当时，即时， 由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时,为增函数;时，为减函数；时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值.当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.(3)当时，在上恒成立，所以为增函数.且（从右侧趋近0）时，；时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；有两个零点.13分19（本小题满分14分）解：（）由题意可得解得，故椭圆的方程为 .4分（）当直线斜率不存在时的坐标分别为，四边形面积为当直线斜率存在时，设其方程为，点，点到直线的距离分别为，则四边形面积为由得，则，所以因为，所以中点当时，直线方程为，由解得所以当时，四边形面积的最大值.综上四边形面积的最大值为 14分 20（本小题满分13分）解：（）若，因为数列单调递增，所以，又是自然数，所以 或1. 2分 （）因为数列的每项都是自然数，若，则，与矛盾；若，则因单调递增，故不存在，即，也与矛盾.当时，因单调递增，故时，所以，符合条件，所以，. 6分（）若，则数列单调递增，显然数列也单调递增，由，即，得，所以，为不超过的最大整数，当时，因为，所以；当时，所以，.综上，即当且为奇数时，；当且为偶数时，.若数列是数列的生成数列，且生成的控制函数为，则中不超过的项数恰为，即中不超过的项数恰为，所以，即对一切正整数都成立，