数学解题策略与数学解题教学的几点浅见

数学解题策略与数学解题教学的几点浅见,1.数学解题策略问题2.数学解题教学问题,1数学解题策略问题1.1解题策略的3大支柱子系统1.2解题的几种重要策略方法,1数学解题策略问题,解题实践表明：数学解题是一种高级心理活动的思维过程。通过研究，发现在这个思维过程中，人们的思维活动有一个监控结构，它的功能主要表现为三个：定向、控制和调节。定向：是确定思维的意向即确定思考过程的方向；控制：是控制思维活动内外的信息量，排除思维课题外的干扰和暗示，删除思维过程中多余和错误的因素；调节：是及时调节思维活动的进程，修改行动的方针、方式和方法，提高思维活动的效率和速度。那么，人们在解题思维决策过程中，以什么为依据来进行数学解题策略的定向、控制和调节呢？这就是数学解题策略应遵循的原则：明确的目的性原则、熟悉化原则（定向）；简单化原则、具体化原则（控制）；和谐化原则，审查分析问题的全面性原则（包括逆向思维原则）（调节）。,1.1解题策略的3大支柱子系统,根据数学解题思维活动过程中的监控结构，我们把数学解题策略系统的子系统分为三大支柱子系统：侧重于定向的归结为模式运作、化生为熟子系统；侧重于控制的归结为聚焦切入、活化中介子系统；侧重于调节的归结为差异分析、适时转化子系统。,1.1.1模式运作，化生为熟,学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型这就是模式。将其有意识地记忆下来，并做有目的的简单编码，当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一种基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式运作的解题策略。,这一策略子系统体现了定向的思维，遵循的是化生为熟的“熟悉化”原则以及“明确的目的性”原则。模式运作常包括模式运用、模式变换、模式迁移、模式突变等。,1.1.2聚焦切入，活化中介,剖析众多的数学问题，尤其是综合性较强的数学问题，常因条件之间的联系比较隐蔽，关系松散或表现错综复杂不易想通，此即成为“难”。这时，我们就像放大镜的聚焦作用一般仔细分析比较题设条件或条件与结论间的异同点或蛛丝马迹，以及潜存着的数量关系或位置关系上的特殊联系，抓住其中联接点，提炼其中的共性点，作为承上启下、左右逢源的“中介”（即中间问题或辅助问题），围绕它来展开活化（转换）并推演和运算，常能方便的找到解题途径，恰当而又适时地将各条件纳入解题过程，并运用各有关条件和定理、性质，灵活的获得所需的结论，这就是“聚焦切入活化中介”的解题策略，简称“聚焦活化”策略。,这一策略子系统体现了“析取”的思维，遵循的是简单化、具体化的原则。,“聚焦活化”的策略其核心是活化中介。因而这里的活化常与分（分步，分类等），比（对比，类比等），引（引参，引理等），调（调整，协调等）切换，推演息息相关。因而，我们可从寻找中介、辅设中介、认清中介、联想中介、想象中介、调整中介、切换中介等方面研究一些具体的策略。,1.1.3差异分析，适时转化,运用分析条件与结论之间的差异、处理手段的差异等，以不断减少目标差来完成解题的策略，称为差异分析，使用这种策略通常要求：（1）通过分析题目的条件与结论中所出现的数量特征（如元素个数、字母的系数或指数等）、关系特征（如大于或等于、平行或垂直等）、位置特征等去寻找目标差。（2）题目一旦出现目标差就主动做出减少目标差的反应。（3）减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差的减少能积累起来。（4）减少目标差的调节常体现在处理手段差异的调节与转化。,这一策略子系统体现了调节的思维，遵循的是和谐化、分析问题的全面性原则。进退互用，倒顺相通，这是差异分析、适时转化策略的灵活运用。,1.2数学解题的几种重要策略方法1.2.1化归与转化1.2.2分解与组合1.2.3数形互助1.2.4筛选缩围,1.2数学解题的几种重要策略方法,在数学解题中，有些方法本身也是一种策略，例如数形互助，它既是一种非常重要的解题方法，又是一种重要的解题策略，且这种策略属于定向型的模式运作，化生为熟子系统。也正因为这样，我们介绍几个既是重要的解题方法又是重要的解题策略的数学解题策略方法：化归转换、分解整合、数形互助、筛选缩围。,1.2.1化归与转化,人们认识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程，往往会呈现相对的阶段性，因此对于认识的对象，在数学中就是所研究的问题总是会有最为熟悉和比较生疏之分，因此，在面临一个较生疏或不易直接处理的问题化归为熟悉的问题转换为易于处理的问题。“化归”是转化回归的简称，其基本思想是：将待解决的问题A通过某种转化手段归结为另一个问题B，再通过对问题B的解决而得到原问题A的解答。用框图可直观表示为：,说明等价变形是一种重要的形式转换也可称为同向化归。数学符号化、形式化后，每一种数学语义，或者是每一个数学概念、关系等一般都有一种确定的数学符号表示。但数学符号表示与数学语义解释不是一一对应的，即一种数学符号可能有多于一种的数学语义的解释，这就为语义转换的策略的实施提供了客观基础。,例1：化简：,解：设22223=a,11112=b,则11111=a-b,于是原式,例2已知正数,求证：证明：易知条件(*)据对称性，不妨设于是由（*）知,满足,可以为三角形的三边.,则,即有,故,可以为三角形的三边.,1.2.2分解与整合,数学解题中的“分解”与“整合”策略，是辩证思维的重要内容之一，由于矛盾存在于一切事物之中，“分”与“合”这对矛盾在数学解题中也是无时不有无处不在.“分解”策略，就是在解题时，将待解决的问题适当分解、分域或分步、分类等，或将图形分割成易于讨论的几个互相契合的图形，然后一一证之或解之.这种策略常可使一时难以捉摸无法下手的问题变得明朗清楚.“整合”策略，也是一种整体策略.解题时，将待解决的问题的条件组合起来，叠加起来，从统一的角度，用整体的观点来考虑如何达到目标.这可使我们更为透彻地和有条理地了解问题中所包含的各种信息，这对于比较自然，比较有把握地发现解题途径无疑大有好处.,例3分解因式：,解：设原式,则,例4已知,证明：设由算术-几何均值不等式的以下4个不等式:将上述4个不等式相加，得约去3，然后两边三次方，整理得故原不等式获证.说明用上述方法，此例可推广为：若求证：,求证：,且,例5已知,证明：记,则,试证明：,即,整理得,从而原不等式获证.,1.2.3数形互助,数和形这两个基本概念，是数学的两块基石.全部数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的.在数学的发展进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化、补充.在数学史上还可看到：当数和形孤立研究时，进程就缓慢；当数和形结合起来，数学研究就会取得突破.数形互助解题法包括三个方面:以形助数、以数助形、数形互助.,例6已知点,证明：证法1如图1，过点P作知因点Q的坐标满足方程组即将上述方程组中两个方程的两边分别平方后，相加得因,和直线,求证：点P到直线,于点,则PQ的方程为,从而,的距离,证法2：设,是直线,上任意一点，过P作,于点Q，,则直线,的方向向量为,直线,的法向量为,亦即,向,量,向量,在向量,上的射影即为点P到直线,距离,由向量的射影公式，有,说明：上述两种证法借助于数式的推演，给出了点到直线的距离公式的推导.其实该例还有20种推演的方法，可参见沈文选老师的著作数学眼光透视，哈尔滨工业大学出版社出版.,的,例7设MN、PQ是两条线段，则,证明：证法1如图2(1)、(2)，设R、S、T、K、E、F分别为QN、NP、PM、MQ、PQ、MN的中点，将这些中点两两连接，则四边形KFSE、RFTE及KRST均为平行四边形.由平行四边形性质，有于是，,的充分必要条件是,（*）,注意,有,平行四边形KRST为矩形,注意到(*)式，有,注意到三角形中位线性质，有,证法2：注意到新来的运算，有,说明：上述的证明对平面、空间的情形均成立.在平面情形中的必要性即为定比幂线定理.在空间中即“有一组对棱互相垂直的四面体（或三棱锥）的充要条件是另两组对棱的平方和相等”的结论.,于是,2.4筛选缩围,不少数学问题，由于给定的条件和结论不相匹配，它表现出条件较宽或较少，一开始或当解题进行到某一步后，不能再进行下去，需要我们进行恰到筛选有关条件或筛选从有关条件推出的结论.恰当选择是至关重要的.“收缩并分割，再围而歼之”，这是孙子兵法中的一种重要战略战术，而“缩小包围圈”的解题策略正是这种军事思想在解题中的具体运用.“缩小包围圈”的策略可以表现在：放缩夹逼，限定范围；分类讨论，逐一击破；提炼特征，减元缩围；肢解减化，分别处理；等等.,例8已知,证明：因为,均为正数，求证：,均为正数，,所以,又,所以,说明：本题通过放缩进行筛选缩围.,例9已知数列,解：设,满足,求,展开后，得,由,解得,或,当,时，条件式可,故数列,是以,为首项，,为公比的等比数列，则,问题变为利用累加法求数列的通,所以，当,时，同理可得,说明：本题通过提炼特征进行筛选缩围求解.,变为,项的问题，解得,2数学解题教学问题,2.1重视数学审题教学2.2抓好语义转化教学2.3加强解题素养教学2.4关注一题多解教学,2数学解题教学问题,著名数学家、数学教育家波利亚认为，把“数学解题”作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径，这种观点得到了国际数学教育界的广泛赞同.我国广大教学教育工作者也逐步认识到，应将数学解题教学置于数学教学的中心地位，认为这是由数学教学的目的及解题本身的意义所决定.数学教学的目的在于，使学生在数学知识、数学能力、数学素养（包括情感、意志、态度等非智力因素）等方面都得到充分的发展，以促进良好品格结构的形成.而解题教学正是达到上述目标的最好手段，解题对建立和发展数学知识结构，形成和增进数学思维能力、培养和造就创造精神等方面起着不可取代的重要作用.解数学题是学习数学的主要形式，是学习数学课程的一个“实践性”环节.,2.1重视数学审题教学,2.1.1为什么审？2.1.2审什么？2.1.3怎么审？,2.1重视数学审题的教学,所谓审题就是弄清题意，这是解题的起点，即解题的第一阶段。在这个阶段，解题者必须了解问题的文字叙述，剖析出问题的主要部分，即证明题的前提和结论，求解题的未知、已知和条件，并能准确地流利地重新叙述所面临的问题，然后通过观察、分析、综合、画图等，把由文字、符号、图形等发出的信息正确地接收下来，把细节与细节之间联系起来，把每个细节与整个问题联系起来，充分挖掘题设的内涵，审清问题的结构特征，判明题型，从而为解题途径提供方向，为选择解法提供决策依据。审题教学应抓为什么审？审什么？怎么审？,2.1.1为什么审？,（1）审题不仅首先存在于解题工作的开头，而且继续存在于思路探求的过程中和解法初步得出后的回顾反思里。没有后续的审题，思路会中途受阻；没有全过程的审题，认识会停留在表层或现象上。（2）审题不仅要弄清条件，弄清结论，而且还要弄清条件与结论的初步（或基本）联系，即题目的关系结构（更具体，更明确的联系由思路探究去完成）,题目的条件和结论是组成这个结构的,不可或缺的两类原材料.(3)审题不仅要弄清题目的浅层结构，而且还要努力弄清题目的深层结构,这个深层结构有一个逐步明晰的过程，还常常有不同的表征，不要毕其功于一役。（4）审题不仅要获得题目的解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力，优化认知结构，提高思维素质，学会数学的思维（最终是通过数学学会思维）。,2.1.2审什么？,怎样才算审清题意了呢？我们说，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点，推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息。题目的条件和结论是两个信息源，为了从中获取尽可能多的信息，我们要逐字逐句地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求得目标与手段的统一。具体说来，要抓好审题的“三个要点”：（1）弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义又如何。（2）弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何。（3）弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构。除了审条件，审结论，审结构，还要审范围，审特殊数值等。,2.1.3怎么审,审题的程序可细致地分为“四个步骤”：（1）读题-弄清字面含义。（2）理解-弄清数学含义。（3）表征-识别题目类型。（4）深化-接近深层结构。综上，审题教学应关注解题目标，抓审题的目的性；关注题中关键字句，抓审题的准确性；关注语句转换，抓审题的关键性；关注题设内涵，抓审题的深刻性。,2.2抓好语义转换教学,2.2.1认识语义转换在解题教学中的意义2.2.2培养学生语义转换能力的对策,2.2抓好语义转换教学数学解题中的语义转换，就是将题目中的有关信息转换，让题目中的已知条件和未知量走得更远一些，更通俗易懂一些.,2.2.1语义转换在解题教学中的意义（一）通过语义转换激活学生的创造性思维在解决数学问题时，引导学生观察分析表达式的结构，通过语义转换活跃学生的思维，可得到新颖别致的解题方法.这可以提高学生的创造性思维能力.,例10已知,解法1：不等式两边取对数，原不等式就等价于不等式,是正整数，且,证明：,即,由语义转换构造函数,在其图象上取点,如图3，则直线OA、OB的斜率分别为,如图，可知，,所以,故原不等式成立.,说明：符号语言转换为图形语言,解法2：原不等式等价于不等式,联想到均值不等式,在不等式两边同时乘以,可得到,的形式，构造,即,说明：符号语言化归为公式语言,所以,(二)语义转换为解题提供新视野,不少数学题的解题方法不止一种，而探究新的解题方法需要进行合理的语义转换.由于数学语义转换的“一式多义性”，即对同一形式可以进行不同的语义解释.例如，,可表示,与,的平方和的算术平方根，也可表示点,到原点(0,0),的距离.又如，符号“|”有四种不同的含义，即,绝对值、向量的模、复数模、两点间距离.,例11设点P是边长为1的正方形ABCD内任一点，求,解析1：此题可通过语义转换，转换为图形语言，进而利用图形的几何性质求解.,的最小值.,由三角形的性质可得,所以,即,的最小值是,解析2：建立直角坐标系，如图4，设点P坐标,公式，列出方程,求最小值.直接求值会有一定难度，但如果将正方形ABCD置于复平面之中，构建复数模型，问题就简单多了.,然后根据两点间距离,将正方形ABCD置于复平面之中，构建复数模型.,当且仅当,时取等号，所以,的最小值是,2.2.2培养学生语义转换能力的对策数学解题涉及语义转换，数学语义转换又牵涉学生的数学语言能力.学生的数学语言能力不足会影响数学语言之间是相互转换，这自然会使学生学习困难.因此在教学中，教师要指导学生准确使用数学语言，掌握文字语言、符号语言、图形语言各自的特点，将这三种语言的优势互补，学会互相转换.,（一）掌握三种语言的特点使之完美互译,在进行三种语言之间的互译前，先理解它们各自的特点是很有必要的，知道各自的优势后进行相互转换，才能达到优势互补.了解三种语言的特点是数学语言间互译的方向标.(1)文字语言的特点及其转换；(2)符号语言的特点及其转换；(3)图形语言的特点及其转换.,例12用一个平行于圆锥底面的平面截此圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为,解析：依据题意，画出图形如图5，这一过程是将文字语言转化为图形语言再结合图4和题意，写出已知条件和未知条件，已知,截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.,求,此过程是将文字语言和图形语言转化为符号语言.最后结合图形根据相似,三角形的性质解出答案.,（二）重视使用多种语言进行知识的讲解,斯图里亚尔指出，数学教学也就是数学语言的教学.教师在教学中要善于运用文字语言、符号语言和图形语言等多种数学语言进行知识的讲解，对于定理、定义、性质等内容采用三种语言同时讲授，让它们的优势互补和有机融合，更易使学生对知识达到融会贯通的程度.例如：集合A为集合B的子集(文字语言),（符号语言）,（图形语言）,（三）鼓励学生多说多读,学生的数学阅读能力和说的能力比较弱，不少学生在课堂上不愿意说、不敢说，说不清。课堂上教师对说和读的训练也不够重视，致使其阻碍了学生的数学语言能力的发展。阅读可以帮助思维进行进一步加工、提炼，使之更准确、更具有条理，使学生的数学语言水平得以提高，不断完善，规范自己的数学语言系统。对于学生的不愿说、不敢说的现象，首先要培养学生的兴趣，让每一位学生愿意说、敢于说。因此在课堂上，教师要积极创设情境，激发学生说和读的兴趣，调动学生的好奇心，求知欲，让学生愿意说数学，读数学。,2.3加强解题素养教学2.3.1数学知识素养的培养教学2.3.2数学观念素养的培养教学2.3.3解题策略方法素养的培养教学,2.3加强解题素养教学,数学素养已成为现阶段时代背景、文化需求下我国中学生应具备的基本素养之一，也是素质教育的重要组成内容，而解题是数学教学与学习的重要组成部分。美籍匈牙利数学家、数学教育家G波利亚认为：“掌握数学就意味着善于解题”；我国著名教师、教育研究者张乃达先生主张：“数学教育应该以解题为中心”，“达到教学目的的最好手段就是解题教学”。因此，数学解题素养的提升是数学素养培养的核心内容。,2.3.1数学知识素养的培养教学,如果没有基础知识做铺垫，数学解题根本无从谈起。中学数学知识可认为主要是经由算子性知识、关联性知识和策略性知识交汇、融合而成。算子性知识主要是由于教材中的数学概念和数学原理（公理，定理，公式和法则等）组合而成。关联性知识主要是指内隐或游离于数学教材体系中与数学教学、数学学习内容密切相关联的知识，如数学应用、数学史、数学文化、数学美等，有益于学生对数学的价值产生更深刻的认识。策略性知识主要包含数学思想方法、数学思维模式、数学学习方法等，它是主体面临问题时基于自身思考所生成的解题策略及对策略本身认识的知识。,此题是一个有关不等式类型的问题，且结论中还涉及根号。基于此，学生不难联想到可通过不等式两边同时立方求证，而这里由条件推结论是比较困难的，所以可用分析法从结论入手。,例13：已知：ab0,求证：,证法1：要证,因为ab0,所以,因此，只需证,即要证,化简可得，只需证,由于,所以只要证：,又由已知条件可知ab0,所以,显然成立，即原不等式成立，证毕,说明：要素是算子性知识。,证法2：要证,说明：这种证法主要利用,因为,所以只需证,令,并且可知,因此只需证,因为,所以,即,从而原不等式成立，证毕,这是一个数学结构美的体现，借由未知数的合理组织建构得到定值.,证法3：令,则题意转换为要证：,又,所以只需证,由此可联想到函数的凹,所以函数,是一个凸函数.又,则,（其中,从而推出,是成立的，则,即,从而原不等式成立，证毕.,说明：证法3通过将不等式与函数建立联系，在函数的思想观点下借由图象的性质得到不等式的大小比较.,凸性质.如图7，因为函数,）.,因此,2.3.2数学观念素养的培养教学,数学观念素养主要是指对数学和数学学习有清晰、全面的认识，树立动态的、多元的数学观，能够把握数学的本质，理解数学学习的价值.根据中学生身心发展特点，他们的数学观念素养的培养应主要从量化观、整体观和辩证观三个方面着手，使学生形成良好的解题意识和习惯.量化观要求数学学习主体能够“数学地”思考问题，具备问题、抽象、化归、推理等数学意识，做到心中有数.整体观要求数学学习主体能够全面地看待问题，不局限于问题的细枝末节，而是全局性地分析考查问题得到本质.辩证观则是指以辩证的思想融入数学解题当中，如重视特殊与一般、具体与抽象、整体与局部、对立与统一等各自互相之间的内在联系和转化途径.,2.3.3解题策略、方法素养的培养教学,学生突破数学解题瓶颈需要加强策略性知识的学习.数学解题策略方法我们已在前面作了一些介绍，介绍了几种重要的解题策略方法.除此之外，还学习更多的策略、方法，以培养其素养.认知心理学理论认为，人脑中对于知识有三种类别的建构.这对应于中学数学知识是：算子性知识一般是一类描述性知识，主要回答是什么的问题，学生的学习体现在是否记住和理解这些概念和内容；关联性知识一般是一类程序性知识，主要是一些公式及推理法则，学生的学习体现在是否能利用它们进行推理运算；而策略性知识，主要是指如何在描述性知识和程序性知识的基础上进行综合思维，从而有效解决问题.,例14设,解析：关于这道题，一种解法是根据方差的概念进行数值计算，然后可以得到：,随机变量,取值,的概率均为0.2，随机变量,取值,的概率也均为0.2，若记,分别为,的方差，讨论,与,小关系.,所以,第二种解法不直接计算,只要观察随机变量,的取值，发现,这组数据的离散程度比,的离散程度大，据此即可判断,的大,2.4关注一题多解教学,数学题“一题多解”可以展示解题者的火热思考及智慧的显露.2.4.1“一题多解”的精彩解法来自不断的疑问，优化于思考、探索.思维总是有问题开始的，而经典问题的探索常常是在排疑解难的过程中被激发出来，在优化改进的过程中产生出来.思起于疑问，问能解惑，问能知新，问能激发，优化进化便可产生精彩的解答方法.,例15已知,分析1：要证明,求证：,本题是一道简明的不等式证明题，依据不等式的基本性质，可以从多途径、多角度去思考证明方法.,只需证,作差证此例怎么样？作差后好变形,证法1：（作差法）直接作差后不易变形，便采用“凑0”技巧有,由于,即,得,即,故有,处理吗？,分析2想不到采用“凑0”技巧，又该怎么办？可以对原有条件进行同解变形吗？对求证式也可以同解变形吗？,证法2：（作差法）因为,所以,又因为,所以,即,分析3：如上的证法，需要对求证式先乘以2，再作差.不乘以2，能不能证明呢？考虑到对称性，可以用排序的技巧处理吗？,证法3：（做差法）由对称性，不妨设,注意到,则有,所以,证法4：（排序法）由对称性，不妨设,注意到,则有,所以,分析5：作商怎么样？,证法5（作商法）由,可得,于是,所以,分析4：如上的证法3也可以不用作差技能，改述为下面的证法.,分析6，如上的作商法稍加改变，就可得到用不等式的叠加性质来证吗？,证法6：（叠加法）由a2,b2可得,将这两个不等式叠加得,也就是a+ba+b。,分析7如上的证法里，有“加、减、商的证法”，容易想到的是“乘”的证法吗？,证法7：（叠乘法）由a2,b2可得a11,b11，所以（a1）（b1）1，即ab（a+b）0，所以ab（a+b）。,分析8对条件里的2不分解，也可以直接去叠乘吗？,证法8：（叠乘法）由a2,b2可得a20,b20，再将这两个不等式叠乘，得（a2）（b2）0，即ab2（a+b）+40，于是有ab（a+b）（a2）+（b2）0所以ab（a+b）。,分析9由条件联想到增量换元法，可以这样证吗？,证法9：（增量换元法）由a2,b2，设a=2+x,b=2+y,x0,y0,ab=(2+x)(2+y)=(2+x)+(2+y)+(x+y+xy)=a+b+(x+y+xy)a+b,所以ab（a+b）。,分析10若将作差后ab（a+b）的代数式记为f(a),构造一次函数，又获简明解法。,证法10（构造函数法）构造函数f(a)ab（a+b）（b1）ab。,因为b2，所以b110，这说明函数f(a)（b1）ab是关于a的一次递增函数，并注意到a2，f(2)2（b1）bb20，所以f(a)f(2)0，故有aba+b。分析11对ab（a+b）分离变量，使a、b分别位于不等号的两端，可以证吗？证法11：（分离变量法）对ab（a+b）变形得a（b1）b，分离变量得,因为b2，所以b11，得,所以ab（a+b）。,上述一例，我们通过从不同的角度、不同侧面对题设条件进行设问，获得到了这一系列的精彩证法。,“一题多解”扮演着“促进解题方法的深化、广化的角色”；“一题多解”体现着变形处理的思维训练；“一题多解”给解题者带来解题的乐趣与攻坚克难后的喜悦。,2.4.2“一题多解”可以训练数学思维演绎深化。,例16已知点A（0，2），B（0，2），点P在圆(x-3)2+(y-4)2=1上，求|PA|2+|PB|2的最大值。,本题可从代数层次、几何层次、向量与导数层次演绎深化。若从代数层次而言，可从方程、函数、三角、复数等方面考虑。考虑到本题是与圆的方程有关的问题，可选择运用方程的方法作为思维的起点。,解法1：由(x-3)2+(y-4)2=1，得x2+y2=6x+8y24，又设|PA|2+|PB|2=t,则t=x2+(y-2)2+x2+(y+2)2=12x+16y40,所以12x+16y40t=0,由,消去y得到关于x的二次方程400 x224（40+t）x+t248t+26240，由0，并化简得：t2120t+32000，解得40t80，因此|PA|2+|PB|2的最大值为80.,联想到圆的参数方程，可考虑运用三角方法解。,解法2：设P(x,y)是已知圆上任意一点，由于圆的参数方程为,其中,联想到复数的几何意义和三角形式，可考虑用复数方法解。,解法3：由于已知圆的复数方程为|z(3+4i)|=1,即z(3+4i)=cos+isin,所以z2i=（sin+3）+