第25章-非线性回归与门限回归

1陈强，高级计量经济学及 Stata 应用课件，第二版，2014，高等教育出版社。第25章非线性回归和阈值回归第25章非线性回归和阈值回归25.1非线性最小二乘非线性最小二乘对于非线性回归模型，除最大似然估计外，还可以使用“非线性最小二乘”(NLS)。考虑以下非线性回归模型： (，)(1，)iii yginx2是k维参数向量，()g是的非线性函数，不能通过变量转换变成线性函数。If(，)ii gxx返回到经典的线性回归模型。记录为的虚数，相应的剩余误差为(，)iii eygx。选择非线性最小二乘法来最小化残差平方和：最小化残差平方和的一阶条件是1(，SSR() 2，(n ii i g yg0 x x可以简化为1(，)，n ii i g yg0 x 1，(n i i g e 0 x这是一个具有k个方程和k个未知数的非线性方程组。4满足这个非线性方程组的估计量叫做“非线性最小二乘估计量”，叫做NLS。剩余向量e正交于(，)gx，而不是x(在线性回归的情况下)。一般来说，没有解析解，解析解需要用数值迭代法求解，如牛顿-拉夫逊法。例如，考虑以下非线性回归模型：123exp () iii yx该模型包含三个未知参数123(，)，即3k。5 NLS用于估算。残差平方和为21 123 exp () minssr () n i i xy nls估计量的一阶条件是1 123 1 ex ss 0)r)p(2(I n I Iyx1 1 233 2 exp()exp(s)2) s r(0 I n I I I I Ixxy12323 31 exp()exp(SSR()0)2n ii I ii xxxy 6 nls的大样本性质如果e (|) 0 ii x加上一些技术条件，nls是的一致估计量，nls服从渐近正态性。 如果扰动项是球形扰动项，NLS渐近有效。25.2统计数据命令和非线性回归的实例命令以及实例7的门限值返回25.3用于非线性回归检查回归系数是否稳定：是否将样本分成几个子样本并分别回归以获得相似的估计系数？对于时间序列，经济结构是否随时间而变化？对于横截面数据，例如，样本中有男性和女性，样本可以根据性别分为两部分，男性样本和女性样本可以分别进行估计。如果用于划分样本的变量是连续变量，如企业规模和平均国民收入，则需要给出一个划分标准，即“门槛水平”。在应用研究中，人们常常怀疑大企业和小企业的投资行为是不同的，那么如何区分大企业和小企业呢？例如，受流动性约束的企业和不受流动性约束的企业的投资行为也可能不同。这两种类型的企业如何通过资产负债率或其他指标来区分？发达国家和发展中国家的经济增长规律可能不同。如何用人均国民收入指标来区分一个国家和发达国家？传统的方法是由研究者主观地确定阈值，并将样本分成两部分。对阈值既不进行参数估计，也不进行统计检验，结果不可靠。Hansen(2000)提出了“阈值回归”，用严格的统计推断方法来估计参数和检验阈值假设。9假设样本数据为1，n iii iyqx。I q是用于划分样本的“阈值变量”。i q可以是解释变量i x: 1 2的一部分。如果ii ii ii yq yq x是要估计的阈值，i x是一个外生解释变量，与I无关。该子函数被组合并写成12 12 () () ii iiii yqq 11 zzxx 10可由NLS估计。如果已知，可以定义1 () IIQ1ZX和2 () IIQ1ZX，并且这个方程可以转换成线性回归模型：1122IIIYZZ在实践中，残差平方和通常分两步最小化。首先，给定该值，OLS用于估计1()和2 () (1和2取决于)，并且残差的平方和SSR()(称为残差平方的一致和)也是一个函数。其次，选择最小化SSR().11给定i q，由于指示函数()i q1和()i q1只能取值0或1，因此它们是的阶梯函数，“阶梯的上升点和下降点”正好是Iq(只有一个“步长”)。因此，SSR()也是一个阶梯函数，而阶梯的提升点恰好在1 n I I q的观测值上不重叠，因为如果取1 n I I q以外的其他值，它不会影响子样本的划分，所以SSR()不会改变。最多，您只需要考虑取n个值，即12、n个qqq。这简化了SSR().请记住，最终的参数估计值是12()、()、12在一定条件下，由Hansen(2000)导出的大样本的渐近分布用于构造置信区间，并且对00 : h进行似然比检验。类似地，可以考虑包括“多个阈值”的阈值回归。例如，对于阈值变量i q，假设两个阈值为12，则阈值回归模型为1121232()()()IIIIIIII YQQ 111 XXX 13 25.4面板数据的阈值回归面板数据的阈值回归对于面板数据，1，1 ITIT伊泰钦Ttx，汉森(1999)考虑了以下固定效应阈值回归模型：12。如果它是一个阈值变量(可以是它的一部分)，是一个阈值，扰动项是。假设它x是一个外生变量(不包括它y的滞后值)，并且与它无关。14该模型更简洁地表示为12()()假设N较大而T较小(短面板)，因此大样本的渐近理论基于“N”。定义12，()()()()itittitq1x1x，然后将公式简化为()itittiyx，对于个人I，求公式两边的平均时间：()iiiiiiyx15减去两个公式，得到离差形式：()()()itiitiititiyxx * ititiyyy，*()()ititixxx，* ititi，然后* * * () ititiyx仍然使用两步方法进行估计。首先，给定该值，使用OLS进行一维估计(组内估计)以获得估计系数()和残差平方和SSR().其次，对于：1，1 itqinT(最多nT个可能值)，选择最小化SSR().最后，得到估计系数()。16如果您不希望子样本中的观测值太少，您可以限制这些值，例如，您不考虑其中最大5%或最小5%的值。对于是否存在“阈值效应”，可以检查原始假设：012 : h如果原始假设为真，则不存在阈值效应。对于本标准，该模型被简化为1 ITIT YX的固定效应面板模型，该模型被转换为离差形式，然后由OLS(组内估计器)进行估计。17在“012 : h”约束下获得的残差平方和是* SSR，以区别于无约束的残差平方和SSR().很明显，* ssrssr()。如果ssr()较大，并且在添加约束条件后SSR增加，则更有可能拒绝“0123360h”。Hansen (1999)提出使用以下似然比检验(LR)统计量：* 2 LRSS RSSR()，其中2 SSR () (1) n t是扰动项方差的一致估计。如果“012 : h”成立，则不存在阈值效应，阈值是多少并不重要。当0 H成立时，不管它取什么值，它对模型没有影响，所以参数是不可识别的。检验统计量LR的渐近分布不是标准的2分布，而是依赖于样本矩，因此不可能列出它的临界值，但可以通过自助方法获得临界值。如果“012 : h”被拒绝，并且认为存在阈值效应，则可以进一步检查阈值，即“00 : h”。似然比检验统计量被定义为2LR() SSR () SSR () 19。在“003360h”条件下，lr()渐近分布的累积分布函数为21ex，可直接计算临界值。可以使用统计LR().考虑多重阈值的面板