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- 1 - 福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学试卷文科数学试卷 （满分：150 分考试时间：120 分钟） 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（必考题和选考题两部分） 第卷（选择题共第卷（选择题共 60 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 (1)已知集合 2 60Ax xx ， ln1Bx yx ，则AB （A） 12xx （B） 12xx （C） 13xx （D） 13xx (2)已知复数 z 满足113zii，其中 i 为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 (3)已知圆 2 22 :10Cxyrr，直线:3420lxy若圆 C 上恰有三个点到直线的距离为 1，则 r 的值为 （A）2（B）3 （C）4（D）6 (4)执行如图所示的程序框图，则输出的 S 是 （A）3（B）1 （C）1（D）3 (5)甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个座 位已知： (1)若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座； (2)若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座 如果丁坐在 B 座，那么可以确定的是： （A）甲坐在 A 座（B）乙坐在 D 座（C）丙坐在 C 座 (6)如图，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的 表面积是 （A）2 2 5 （B）4 2 5 （C）2 3 5 （D）4 3 5 (7)下列图象中，函数 sin xx f xeex ， ,x 图象的是 （第 4 题图） （第 6 题图） - 2 - （A）（B）（C）（D） (8)已知 0, 2 x ， 0, 2 y ， cossin1cos2 cossinsin2 xxy xxy ，则 （A） 4 yx （B）2 4 yx （C） 2 yx （D）2 2 yx (9)将函数 sin 3 f xx 的图象横坐标变成原来的 1 2 （纵坐标不变） ，并向左平移 3 个单 位，所得函数记为 g x若 12 ,0, 2 x x ， 12 xx，且 12 g xg x ，则 12 g xx （A） 1 2 （B） 3 2 （C）0（D） 3 2 (10) 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 1 AC 平面平面截此正方体所得的截面 有以下四个结论： 截面形状可能是正三角形截面的形状可能是正方形 截面形状可能是正五边形截面面积最大值为3 3 则正确结论的编号是 （A）（B）（C）（D） (11) 若函数 1 x f xk x 有两个零点，则 k 的取值范围是 （A） 0, （B） 0,11, （C） 0,1 （D） 1, (12) 已知抛物线 2 20ypx p的焦点为 F，与双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近 线交于 P（异于原点） 抛物线的准线与另一条渐近线交于 Q若PQ PF ，则双曲线 的渐近线方程为 （A）y x （B）2yx （C）3yx （D） 2yx 第卷（非选择题共第卷（非选择题共 70 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 - 3 - (13) 已知a ab ， abab ，则a 与b 的夹角为 (14) 已知实数 , x y满足约束条件 30, 240, 20, xy xy xy 则 2xy 的最小值为 (15) 九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今 有勾八步，股十五步文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别 为 8 步和 15 步， 问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子， 则落在其内切圆 内的概率是 (16) 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 3b ，2cos3cosacBC， 则ABC 面积的最大值是 三、解答题：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) （本小题满分 12 分） 据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、公司和自主创业等五大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术 和金融工程等三个本科专业， 毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人.现采用分层抽 样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向 （）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （）国家鼓励大学生自主创业， 在抽取的 18 人中，就业意向恰有三个行业的学生有 5 人.为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这 5 名学生分别记为 A，B，C，D，E，统计 如下表: ABCDE 公务员 教师 金融 公司 自主创业 其中“”表示有该行业就业意向， “”表示无该行业就业意向 现从 A，B，C，D，E 这 5 人中随机抽取 2 人接受采访.设 M 为事件“抽取的 2 人中至少 有一人有自主创业意向” ，求事件 M 发生的概率 (18) （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 的前 n 项和为 n S，满足22 nn aS （）求 n a； - 4 - （）若数列 n b 满足 * 1 4 n n nn a bnN S S ，求 n b 的前 n 项和 n T (19) （本小题满分 12 分） 在三棱柱 111 ABCABC中， 已知AB 侧面 11 BBC C， 2BC ， 1 2ABBB， 1 4 BCC ， E 为 1 BB中点， （）求证： 1 ACBC （）求 C 到平面 1 AC E的距离 (20) （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为 F，离心率 2 2 e ，过原点的直线（不与坐 标轴重合）与 C 交于 P，Q 两点，且 4PFQF （）求椭圆 C 的方程； （）过 P 作PE x 轴于 E，连接 QE 并延长交椭圆于 M，求证：以 QM 为直径的圆过 点 P - 5 - (21) （本小题满分 12 分） 已知函数 2 lnf xxmxmR 的最大值是 0， （）求 m 的值； （）若 2 1 2 f xxaxb e ，求 b a 的最小值 请考生在第请考生在第（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用 ）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22)（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数)， 在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin. （）求C的直角坐标方程； （）设C与l交于点MN，点A的坐标为3,1，求AMAN. (23) （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 211,f xxax （）当2a 时,求不等式 1f x 的解集； （）当 1,2x 时,不等式 1f xx 恒成立,求实数a的取值范围. 福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： - 6 - 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （1）C（2）A（3）A（4）B （5）C（6）B （7）D（8）A（9）D（10）A（11）C （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （13） 3 （14）4（15） 3 20 （16） 3 3 4 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) 本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、 应用意识，考查统计与概率思想满分 12 分 () 由已知，数学与应用数学、 计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数 之比为 1:2:3,由于采取分层抽样的方法抽取 18 人,因此应从数学与应用数学、计算机科学 与技术和金融工程三个专业分别抽取 3 人 6 人 9 人，4 分 （）从这 5 个人中随机抽取 2 人的所有结果有： ,A BA CA DA EB CB D ,B EC DC ED E，共 10 种 8 分 由统计表可知， 事件 M 包含的结果有： ,A BB CB DB EA DC DD E， ， 共 7 种10 分 所以事件 M 发生的概率为 7 10 P M 12 分 (18) 本小题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等满分 12 分 ()当1n 时， 11 22aS，故 1 2a 1 分 由22 nn aS 得 11 222 nn aSn 3 分 -得， 11 220 nnnn aaSS ，即 1 220 nnn aaa - 7 - 整理得 1 22 nn aan 故 n a 是以2为首项，2 为公比的等比数列， 5 分 所以 1 222 nn n a ，6 分 （）由（）得， 1 2 12 22 12 n n n S 7 分 1 121 42211 2121222221 21 nn n nn nnnn b 10 分 故 12 12231 111111 212121212121 nn nn Tbbb 1 1 1 21 n 12 分 (19) 本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归 与转化思想等满分 12 分 ()AB侧面 11 BBC C， 1 ABBC1 分 2BC ， 1 2CC ， 1 4 BCC ， 22 1111 2cos2BCBCCCBC CCBCC 222 11 BCBCCC， 1 BCBC3 分 由及ABBCB，故 1 BC 平面 ABC AC 平面 ABC， 1 BCAC5 分 （）设 C 到平面 1 AC E的距离为 d 由 11 C AC EA CC E VV 得， 11 11 33 AC ECC E SdSAB （*）7 分 E 为 1 BB中点， 11 1 11 221 22 CC EBCC B SS 8 分 又 111 2BCBC，所以 11 C EBB， 11 1 1 2 C EBB AB侧面 11 BBC C， 1 ABC E 又 1 ABBBB，故 1 C E 平面 11 ABB A 又AE 平面 11 ABB A，所以 1 C EAE - 8 - 2,1,ABBEABBE， 5AE 故 1 1 15 22 C EA SAE C E 11 分 由（*）得 5 2 2 d ，故 4 5 5 d ，即 C 到平面 1 AC E的距离为 4 5 5 12 分 (20) 本小题主要考查坐标法、椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆的性质等 基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、 化归与转化思想等满分 12 分 () 设 F 为椭圆的左焦点，由对称性可知， ,OPOQOFOF 故顶点为 ,P F Q F 的四边形是平行四边形， 2 分 故2 4aPFPFQFPF ，2a 又 2 2 c e a ，故2,2cb4 分 故所求椭圆方程为 22 1 42 xy 5 分 （）设过原点（不与坐标轴重合）的直线方程为 0ykx k ， 11111 ,0P x kxQxkxE x 则 1 11 01 2 QE kx kk xx 故 1 : 2 QE k lyxx7 分 与椭圆方程 22 1 42 xy 联立得， 22222 11 2280kxk x xk x 又直线 QE 与椭圆 C 交于 Q，M 两点，所以 2 1 2 2 2 PM k x xx k ，即 2 1 1 2 2 2 M k x xx k 故 3 1 1 2 22 MM k xk yxx k 10 分 所以 11 2 , 2PQxkx ， 2 11 22 22 , 22 k xkx PM kk 所以 222 11 22 44 0 22 k xkx PQ PM kk 故PQPM ，即 90MPQ 故以 QM 为直径的圆过点 P12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合 - 9 - 思想等满分 12 分 ()由已知得 2 121 20 mx fxmxx xx 1 分 当0m 时， 0fx ， f x在0,上单调递增，不存在最大值，不符合题意舍去； 2 分 当0m 时， 0fx 解得 1 2 x m 当 1 0 2 x m 时， 0fx ，当 1 2 x m 时， 0fx 故 f x在 1 0, 2m 上单调递增， 1 , 2m 上单调递减 4 分 故 2 max 111 ln0 222 f xfm mmm 解得 1 2 m e 5 分 （）由已知条件得ln xaxb（*） 设 lng xxaxb ， （*）等价于证明 0g x 则 1 gxa x 当0a 时，则 0gx ， g x在0,上单调递增， 当 max 1, b x a 时， ln0g xxaxbaxb 故0a不符合题意；7 分 当0a 时，当 1 0 x a 时， 0gx ，当 1 x a 时， 0gx 故 g x在 1 0, a 上单调递增， 1 , a 上单调递减 故 g x有最大值 111 lnln1gabab aaa 9 分 所以 2 1 2 f xxaxb e 等价于ln1ba ，因此 ln1ba aa 设 ln1a h a a ，则 h a 2 lna a 当01a时， 0h a ，当1a 时， 0h a 故 h a在0,1上单调递减，在1,上单调递增 故 h a在 1a 处取得最小值，即 1 1h ah ，1 b a 11 分 故当1a ，1b 时， 2 1 2 f xxaxb e 成立， - 10 - 综上 b a 的最小值为1 12 分