北京理工大学工科数学分析6-1定积分的应用VIP

第六章定积分的应用,定积分的元素法；定积分的几何应用；定积分的物理应用。,定积分的元素法,回顾,曲边梯形求面积的问题,分割近似代替求和取极限,面积表示为定积分的步骤如下:,4).求极限，得A的精确值,提示,特点：,所求量具有代数可加性，即大区间上对应的量等于个小区间上对应的量的和，如面积、质量、功、体积等；,2.所求量在区间上分布不均匀。,元素法(微元法)的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法或元素法,应用方向：,几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；物理：功；水压力；引力和平均值等,二.定积分的几何应用,平面图形的面积；立体体积；曲线弧长。,1.平面图形的面积,1).直角坐标下的面积公式,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,解:,两曲线的交点,面积元素,解：,两曲线的交点,2).参数方程的面积公式,若所给曲线方程为,解：,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,解:,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,3).极坐标下的面积公式,解：,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解：,利用对称性知,解：,图形关于y轴对称，由,故所求面积为：,解：,解：,所围图形如图所示，对称性,小结,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,hw：p3161(2,4,6,9),2(2),3(2),4(2),6.,设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,2.立体体积,1).已知平行截面面积的立体体积,解:,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,R,x,o,x,A(x),A(x),V=,.,.,.,.,R,y,.,例2.求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,y,2).旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有,f(x),a,b,曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转,求旋转体体积,f(x),a,b,x,.,111111111,曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转,V=,求旋转体体积,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴,求旋转体体积,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴,.,求旋转体体积,x=g(y),c,d,y,.,.,.,求旋转体体积,.,曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴,a,b,f(x),y,x,0,求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,x,dx,x,a,b,y,x,0,内表面积,.,dx,.,求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,dV=,2xf(x)dx,f(x),b,y,x,0,a,.,求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,dV=,2xf(x)dx,f(x),b,y,x,0,a,.,求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,dV=,2xf(x)dx,f(x),0,y,0,x,b,x,a,dx,.,求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,dV=,2xf(x)dx,f(x),f(x),Y,x,0,b,dx,0,y,z,.,a,.,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,求旋转体体积柱壳法,dV=,2xf(x)dx,解：,所求旋转体体积应为两个曲边梯形绕y轴旋转所得旋转体体积之差，故,证明：,上半椭圆方程为：,另法利用椭圆参数方程,则,解：,由对称性，有：,心形线方程还可写为：,解：,三角形的斜边方程为：,或,解：,积分得:,解:,体积元素为,例7.设,在x0时为连续的非负函数,且,形绕直线xt旋转一周所成旋转体体积,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,p3178,9(1,4,6),10(2)。,例2.求曲线,与x轴围成的封闭图形,绕直线y3旋转得的旋转体体积.,(94考研),解:利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,Dec.14Fri.Review,一.平面图形面积,若所给曲线方程为,由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,3.极坐标下的面积公式,二.立体体积,2.旋转体