自动控制原理第二章-2.ppt

第二章控制系统的数学模型,2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换2.2控制系统的时域数学模型2.3控制系统的复域数学模型2.4控制系统的结构图与信号流图2.5控制系统建模的MATLAB方法,线性定常系统微分方程的一般形式,2.2控制系统的时域数学模型,本节着重研究描述线性、定常参数控制系统微分方程的建立和求解方法。,系统,2.1.1线性元部件及系统的微分方程,例：RLC串连电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。,解：,例：机械位移系统如图。试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。,整理得:,阻尼器的阻尼力：弹簧弹性力：,解：,微分方程的列写步骤,1）全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输入、输出变量。2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；3）将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个仅含系统的输入、输出变量的微分方程。4）整理方程，使得与输入有关的项在方程的右边，与输出有关的项在方程的左边，且各导数项按降幂排列。,非线性系统：用非线性微分方程描述。,线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。,线性系统：用线性微分方程描述。,线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。,2.1.2控制系统微分方程的建立,控制系统类型：,控制系统微分方程建立方法：,由系统的原理图画出系统方框图，分别列写组成系统各部件的微分方程；消去中间变量，即得到描述系统输入量与输出量之间关系的微分方程。注意事项：注意信号传递的单向性，即前一个部件的输出是后一个部件的输入，一级一级地单向传送；应注意前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应，例如无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电动机转动惯量的影响等。,解：控制系统的被控对象是电动机(带负载),系统的输出量是转速,参据量是ui。控制系统由给定电位器、运算放大器(含比较作用)、运算放大器(含RC校正网络)、功率放大器、测速发电机、减速器等部分组成。现分别列写各元部件的微分方程：运算放大器:参据量(即给定电压)ui与速度反馈电压ut在此合成,产生偏差电压并经放大,即u1=K1(ui-ut)=K1ue式中K1=R2/R1是运算放大器的比例系数。,线性系统的基本特征,线性系统的重要性质是可以应用叠加原理，叠加原理有两重含义，即具有叠加性和均匀性（齐次性）。,当f(t)=f1(t)时,上述方程的解为c1(t);当f(t)=f2(t)时,其解为c2(t)。如果f(t)=f1(t)+f2(t),容易验证,方程的解必为c(t)=c1(t)+c2(t),这就是可叠加性。而当f(t)=Af1(t)时,式中A为常数,则方程的解必为c(t)=Ac1(t),这就是均匀性。线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时作用于系统所产生的总的输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍，其输出也增大相同的倍数因此，对线性系统进行分析时，如果有几个外部作用同时加于系统，则可以将他们分别处理，分别求出各个外作用单独作用于系统的输出，然后将他们叠加。此外，还可以将每个作用取单位值，从而大大简化线性系统的研究工作。,线性定常微分方程求解,建立控制系统数学模型的目的之一是为了用数学方法定量研究控制系统的工作特性，当微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统提供输出量随时间变化的特征。求解方法：经典法和拉氏变换法。,微分方程求解方法,例：已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t),1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,解：,拉氏变换法求解步骤：,实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。严格的说，实际的物理元件或系统都是非线性的，如弹簧的刚度与其形变有关，因此弹簧系数k实际上是其位移的函数；电阻、电容、电感等电子元器件，其参数与外界环境及电流有关。但是在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略他们的影响，可视为线性元件，这也是我们通常使用的线性化方法。此外还有一种线性化方法，成为切线法或小偏差法，这种方法适用于连续变化的非线性特征函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特征用一段直线来代替。,2.1.3非线性微分方程的线性化,小偏差线性化原理：用泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即x=x0+x,y=y0+y,二、目的：近似处理,略去高阶无穷小项,三、数学方法,取一次近似，且令,即有,解：在工作点(x0,y0)处展开台劳级数,例：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。,第二章控制系统的数学模型,2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换2.2控制系统的时域数学模型2.3控制系统的复域数学模型2.4控制系统的结构图与信号流图2.5控制系统建模的MATLAB方法,传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型。时域模型方法比较直观，可借助Matlab等软件可快速求解，但是当系统结构或参数发生改变时，需要重新列些并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。,2.3控制系统的复域数学模型,2.2.1传递函数的定义和性质,线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。,线性定常系统的微分方程一般可写为,在零初始条件下对上式两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程,传递函数,例2-14：求例2-7RLC无源网络的传递函数U0(s)/Ui(s)。,解：,在零初始条件下，两边求拉氏变换，可得s的代数方程为：,根据传递函数定义，可得系统传递函数为：,1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m低于或等于分母多项的次数n（m=n），所有系数均为实数；2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与输入信号无关；3)传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；4)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应;5)传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。,传递函数的性质,原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；适合于描述单输入/单输出系统；只能用于表示线性定常系统。,传递函数的局限性,例2-15：求例2-8电枢控制直流电动机的传递函数m(s)/U(s)。,传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：,K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。,零、极点分布图,传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。,2.2.2传递函数的零点和极点,线性微分方程解的组成：特解+齐次微分方程的通解通解由微分方程的特征根决定,系统的传递函数的极点就是系统的特征方程的特征根，他们决定了所描述系统自由运动的形态，称之为模态，而且在强迫运动中（即零初始条件响应中）也会包含这些自由运动的模态。,特征方程,2.2.3传递函数的零点和极点对输出的影响,例：具有相同极点不同零点的两个系统,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中所占比重。,上述结果表明,模态e-t和e-2t在两个系统的单位阶跃响应中所占的比重是不同的,它取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离,以及零点与原点之间的距离。在极点相同的情况下,G1(s)的零点z1接近原点,距两个极点的距离都比较远,因此,两个模态所占比重大且零点z1的作用明显;而G2(s)的零点z2距原点较远且与两个极点均相距较近,因此两个模态所占比重就小。这样,尽管两个系统的模态相同,但由于零点的位置不同,其单位阶跃响应c1(t)和c2(t)却具有不同的形状,如图2-13(b)所示。,2.2.4典型环节及其传递函数,在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干典型环节；或是在系统设计中，在系统某处增加若干环节。,环节：由一个或几个元件组成，表示系统的或系统中局部的动态性能；不同的元部件可以有相同的传递函数；若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数；任一传递函数都可看作典型环节的组合。,输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号。传递函数为,1.比例环节（放大环节）,比例环节,比例放大器,惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不能立即复现。其运动方程为传递函数为,2.惯性环节,惯性环节,由运算放大器构成的惯性环节,积分环节,积分电路,3.积分环节,输出量正比于输入量的积分，其动态特性方程为传递函数为,微分环节,RC电路,4.微分环节,理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例，即传递函数为,一阶微分环节,输出在经过一段时间的延时后才复现输入信号，即传递函数为,5.延时环节（时滞环节、延迟环节）,延时环节,有一对共轭复极点其传递函数为或,6.振荡环节,振荡环节,第二章控制系统的数学模型,2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换2.2控制系统的时域数学模型2.3控制系统的复域数学模型2.4控制系统的结构图与信号流图2.5控制系统建模的MATLAB方法,2.4控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图和信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形；它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算,是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法；与结构图相比,信号流图符号简单,更便于绘制和应用。但是,信号流图只适用于线性系统,而结构图也可用于非线性系统。,1.信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,2.引出点（分支点）/测量点表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,2.4.1结构图的组成和绘制,结构图是系统中各环节函数功能和信号流向的图形表示结构图由信号线、引出点、比较点和方框组成,3.方框（功能框、环节）表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。箭头指向方框的信号线表示该方框的输入信号，箭头离开方框的信号线表示该方框的输出信号。,4.比较点（求和点、综合点）表示对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。,根据信号传递过程，将系统划分为若干个环节或部件；确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数；绘出各环节的动态结构图；将各环节相同的量依次连接，得到系统结构图。,结构图的绘制步骤,例:试绘制图所示RC电路的动态结构图。,解:(1)根据信号传递过程，将系统划分为四个部件R1、C1、R2、C2(2)确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数R1：输入量为ui-u1，输出量为i1,传递函数为：,C1：输入量为i1-i2，输出量为u1；传递函数为,R2：输入量为u1-uo，输出量为i2；传递函数为,C2：输入量为i2，输出量为uo；传递函数为,(3)绘出各环节的动态结构图,(4)将各环节相同的量依次连接，得到系统结构图,结构图的基本连接方式有三种：串联、并联、反馈复杂系统的结构图由这三种基本的连接方式组合而成的1.串联方框的简化（等效）串联连接:n个环节首尾相连，前一个环节的输出作为后一个环节的输入。,n个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数的乘积,2.3.2结构图的等效变换和简化,n个环节并联后的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和：,并联连接：n个环节的输入相同，而总输出为各环节输出的代数和。,2.并联方框的简化（等效）,将系统的输出信号C(s)在经过某个环节H(s)后，反向送回到输入端。图示为反馈连接方式的一般形式,3.反馈连接方框的简化（等效）,C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)H(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s),例：,等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。,引出点前移C(s)=G(s)R(s),引出点后移,4.引出点和比较点的移动,（1）引出点移动,相加点前移,交换或合并相加点,C(s)=G(s)R(s)-B(s),C(s)=G(s)R(s)-B(s)=G(s)R(s)-G(s)B(s),C(s)=E1(s)+V2(s)=R(s)-V1(s)+V2(s)=R(s)+V2(s)-V1(s),（2）相加点移动,相加点后移,结构图简化的关键是解除环路与环路的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。对于多回路的结构图，先求内回路的等效变换方框图，再求外回路的等效变换方框图。解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。一般，结构图上相邻的分支点可以彼此交换；相邻的相加点也可以彼此交换。注意：分支点和相加点相邻，不可互换位置,例：试简化如图所示的系统方框图，并求系统传递函数。,-,-,-,信号流图是表示控制系统各变量间相互关系及信号流程的另一种图示方法，它比动态结构图更简洁。信号流图方法是S.J.梅森(Mason)1953年首先提出的，故又称梅森图。利用梅逊公式可以避免复杂的动态结构图的等效变换，直接写出信号流图或动态结构图所描述的控制系统的传递函数。,2.4.3信号流图及梅逊公式,信号流图的基本性质1)节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示；2)信号在支路上沿箭头单向传递；3)支路是连接两个节点的线段，相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；4)对一个给定系统，信号流图不是唯一的。,信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,2.4.1信号流图的组成和性质,源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。,阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。,信号流图中常用的名词术语,1.由系统微分方程绘制信号流图1）将微分方程通过拉氏变换，得到s的代数方程；2）每个变量指定一个节点；3）将方程按照变量的因果关系排列；4）连接各节点，并标明支路增益。,2.4.2信号流图的绘制,上式拉氏变换,信号传递流程：,例：,1)用小圆圈标出传递的信号，得到节点；2)用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意：信号流图的节点只表示变量的相加。,2.由系统结构图绘制信号流图,例：试绘制图示结构图对应的信号流图。,解：在动态结构图中的信号线上流动的信号对应于信号流图中的节点。图中有8个不同的信号：Ui、E1、I1、E2、U1、E3、I2、Uo。,(1)按从左到右的顺序，画出上面的8个信号对应的节点。(2)按结构图中信号的传递关系用支路将这些节点连接起来，并标出支路的信号传递方向。(3)将结构图中的传递函数标在对应的信号流图中的支路旁。如果动态结