常微分方程2课件

上节内容回顾,一、微分方程的概念,微分方程，分类，阶，解，一般解（通解），特解，初始条件。,二、一阶微分方程,（一）可分离变量的微分方程,解法：分离变量法,注意不要丢根！,1、齐次方程,（二）可化为可分离变量的微分方程,2、可化为齐次方程,练习1：求解微分方程,解,令,再令,两边积分后得,变量还原得,二、可化为可分离变量的微分方程,3、其他类型,三、一阶线性微分方程,四、伯努利方程,学会识别方程的类型！,第二节一阶微分方程(续),（三）其他可化为变量可分离的类型,变量代换灵活多变，需依据方程特点而定！,注：根据方程的特点，通过做适当变换，可化为可分离变量的方程。,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例1,通解为,解,例2,例3求解微分方程,解,令,令,令,两边同时积分得,变量还原后得通解,一阶线性微分方程的标准形式:,方程称为一阶线性齐次微分方程.,方程称为一阶线性非齐次微分方程.,三、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,一阶线性齐次微分方程的通解为：,1.一阶线性齐次微分方程,一阶线性微分方程的解法：,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程：,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法：,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,令,为非齐次方程的解,实质:未知函数的变量代换.,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解的结构,熟记！,结论:非齐次线性微分方程的通解等于它的一个特解与它所对应的齐次线性微分方程的通解之和.,注意:在求解时，可采用两种方法：（1）直接套用公式，但要注意，在使用公式前,应将方程写成标准形式.（2）不套用公式，而直接使用常数变易法.,解,例4,例5,解,例6如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例7,解1,原方程变形，得,积分，得,解2,原方程变形，将x看成因变量，y看成自变量，有,即,得,练习：求微分方程的通解,解,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,四、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将代入即得,代入上式,解,例8,例9用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,例10,解,由题设知,分离变量，得,积分,由初值知,得,即,化为直角坐标系，得两条直线方程：,例11,解（1）,（2）由一阶线性方程的通解公式，,于是,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,解法：分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,识别方程的类型,3齐次方程,解法：,4可化为齐次方程的方程,解法：,8伯努利方程,7线性非齐次方程,解法：常数变易法,解法：,6线性齐次方程,5其他可化为变量可分离的方程,解法：依据方程特点，做变量代换,解法：,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,9.解微分方程应用题的方法和步骤,作业,P296:3.奇4.偶6.8.9.10.,解,由题设条件,衰变规律,应用题,例2,有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,解,设鼓风机开动后时刻的含量为,在内,的通入量,