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文档简介

第四节二阶线性微分方程解的结构,1.二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构,2.二阶线性非齐次微分方程解的结构,3.n阶线性微分方程解的结构,线性微分方程解的结构,1.二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称(2)为(1)的相对应的齐次方程。,二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构,（1）叠加原理,（2）线性无关、线性相关,（3）二阶线性齐次微分方程解的结构,（4）刘维尔公式,(1)叠加原理,的解，则它们的线性组合,也是方程(2)的解，,证,的解，则它们的线性组合,也是方程(2)的解。,在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？,(2)线性无关、线性相关,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,（3）二阶线性齐次微分方程解的结构,的两个线性无关的解，则,是方程(2)的通解。,解,又容易看出：,而,由叠加原理，原方程的通解为,代入方程中，得,即,故有,两边积分，得,（4）刘维尔公式,为原方程的通解。,则,解,由刘维尔公式,故原方程的通解为,2.二阶线性非齐次微分方程解的结构,(1)解的性质,(1)解的性质,的一个特解，则,是原方程的一个特解。,是其对应的齐次方程,的一个特解。,的一个特解，则,是方程,的一个特解。,可以直接验证性质1性质3。,如何求特解？,的通解，则,是方程(1)的通解。,(2)解的结构,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),例.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入
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