微专题 中点问题

2020北京数学,微专题中点问题,中点问题常用性质及常见辅助线作法,1.多个中点或平行中点构造中位线；2.直角斜边中点直角三角形斜边上的中线；3.中线或与中点有关线段倍长线段构造全等4.同一边遇垂直中点垂直平分线性质；5.等腰底边中点等腰三角形三线合一；,方法一见三角形一边的中点，常考虑构造中位线,例1如图，在RtABC中，B90，AB，BC3，点D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使，连接DF、EF，则EF的长为_,例1题图,【思考】在一般三角形中看到中点，你想到了哪些学过的知识_。,连接三角形两边的中点构造中位线，三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半,方法解读,在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且，ADEABC，解决线段之间的数量或位置关系,1.如图，在RtABC中，ACB90，A30，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC2，则EF的长度为()A.B.1C.D.2.如图，在四边形ABCD中，ACBC，ADBC，BC3，AC4，AD6，M是BD的中点，则CM的长为.,针对训练,第1题图,B,第2题图,方法二已知直角三角形斜边中点，常考虑构造斜边中线,例2如图，ACB90，点D为AB的中点，连接DC并延长到E，使，过点B作BFDE，与AE的延长线交于点F，若BF8，则AB的长度为_,例2题图,6,【思考】在直角三角形中遇到斜边上的中点，你想到了哪些学过的知识：_,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,方法解读,在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD和BCD,该方法常与中位线定理结合应用.,针对训练,第3题图,3.如图，在RtABC中，ACB90，CD是AB边上的中线，且CD5，则ABC的中位线EF的长是（）A.4B.C.5D.,C,第4题图,4.如图，在RtABC中，ACB90，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使，若AB10，则EF的长是（）A.5B.4C.3D.2,A,方法三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”性质,例3如图，在ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC的中点，MNAC于点N.则MN的长为_,例3题图,【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点，你想到了哪些学过的知识：_,等腰三角形底边中线、高线、顶角的平分线“三线合一”,方法解读,如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到：BADCAD，ADBC，BDCD，解决线段或角度之间的关系.,针对训练,5.如图，在ABC中，D是AB上一点，ADAC，AECD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD16，则EF的长为.,第5题图,8,6.如图，在ABC中，ABAC3，AC边上的高BD，点E为BC中点，连接AE交BD于点F，则DF的长为.,第6题图,方法四遇到三角形一边垂线过这边中点时，考虑用垂直平分线的性质,例4如图，在RtABC中，ACB90，BC3，AC4，点D是AB的中点，过点D作DEAB交BC的延长线于点E，则CE的长为.,【思考】点D是AB的中点且DEAB，你想到了哪些学过的知识：_.,例4题图,DE是线段AB的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,方法解读,当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到：BECE，证明线段之间的数量关系.,针对训练,7.如图，在RtABC中，ACB90，BC6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD5，则AE_.8.如图，在ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGCE，点G为垂足.求证：DCBE.,第7题图,第8题图,证明：连接DE，如解图，点G是CE的中点，DGCE，DG是CE的垂直平分线，DEDC，AD是高，CE是中线，DE是RtADB的斜边AB上的中线，DEBEAB，DCBE.,第8题解图,方法五遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考虑倍长中线法构造全等三角形,例5如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F，AFEF，求证：ACBE.,例5题图,证明：如解图，延长AD到点G，使DGAD，连接BG.BDCD，BDGCDA，ADGD，ADCGDB(SAS).ACGB，GEAF.又AFEF，EAFAEF.AEFBED，GBED.BEBG.BEAC.,例5题解图,【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，请用另一种方法证明.,方法解读,当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法