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文档简介

多元函数的偏导数,第八章,一、偏导数的概念,二、偏导数的计算,第二节,四、高阶偏导数,三、偏导数的几何意义,一、偏导数的概念,1.引例,研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是将,中的x固定,求,于x0处,振幅,t的一阶导数与二阶导数.,弦线的振动问题.,关于,2.定义8.6,对x的偏导数，记为,同样可定义,函数f(x,y)在点对y的偏导数,注,记为,注1偏导函数,z=f(x,y)在域D内每一点(x,y),偏导数,记为,处对x的（或y)偏导数都存在,称该偏导数为,若函数,z=f(x,y)对自变量x(或y)的偏导函数,也简称为,由此可知：,2偏导数的概念可以推广到二元以上函数,例如:三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的,偏导数定义为,(请自己写出),3可(偏)导,例1,求证:,证,(R为常数),一定量理想气体的状态方程,5,3.偏导数存在与连续的关系,对于一元函数：,可导,连续,对于多元函数：,可（偏）导,连续,例2,证,注对于二元函数：,可偏导,连续,例3,解(方法1),其值随k的不同而变化，,从而f(x,y)在点(0,0)并不连续!,(方法2),注对于二元函数：,可偏导,连续,由偏导数的定义可知,为一元函数的导数计算.,偏导数的计算可归结,二、偏导数的计算,求某个具体的点处的偏导数时方便,例4求,解(方法1),在点(1,2)处的偏导数.,先求后代,先代后求,(方法2),例5设,证,求证,解,例6,三、偏导数的几何意义,是曲线,在点M0处的切线,对y轴的斜率.,例7,解,四、高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f(x,y)的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于x的n1阶偏导数,再关于,y的一阶偏导数为,例8求函数,解,注此处,但这一结论并不总是成立.,的二阶偏导数及,问题：,二阶混合偏导数一定都相等吗？,不一定！,例如：,二者不等,则,定理,例如,对三元函数u=f(x,y,z),本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立.,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,(证明略),问题：,具备怎样的条件，混合偏导数相等？,例9证明函数,满足拉普拉斯,证,利用对称性,有,方程,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),解,备用题,例2-1,例5-1,解,解,例5-
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