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第一节复变函数积分的概念,一、积分的定义,二、积分的计算,三、积分的性质,四、小结与思考,机动目录上页下页返回结束,2,一、积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,3,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.,4,2.积分的定义:,5,(,6,二、积分的计算,定理：,证,7,8,根据线积分的存在定理,9,积分计算的参数方程法,10,公式,11,例1,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,12,(2)积分路径的参数方程为,13,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,14,例2,解,于是,15,于是,16,例3,解,积分路径的参数方程为,17,例4,解,积分路径的参数方程为,18,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,19,三、积分的性质,估值不等式,20,性质(4)的证明,两端取极限得,证毕,21,例5,证,设曲线C是单位圆周，证明,在C上，|z|=1,于是,22,例6,证,设曲线C是正向圆周|z|=2，求,先求被积函数在|z|=2上的一个上界.,的,一个上界.,设z=x+iy,当|z|=2时，有,所以,23,四、小结与思考,本课我们学习了积分的定义、计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.,作业：P481(2)(4),2,24,思考题,数学分析中实变函数的积分中值定理，能否直接推广到复积分上来？,25,实变函数中的积
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