数学人教版九年级上册一元二次方程根与系数的关系.3一元二次根与系数的关系.ppt

22.2.4一元二次方程根与系数的关系,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,学习目标,经历一元二次方程根与系数关系的探究过程掌握一元二次方程根与系数的关系会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积,并会解一些简单的问题。,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,1.填表，观察、猜想,问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律。,2,1,3,10,5,4,猜想：根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是,则:,填写下表：,观察：,如果方程二次项系数不为1呢?,观察猜想,两个根x1，x2的值,两根之和x1+x2,两根之积x1x2,观察：,（1）x1+x2=（2）x1x2=,猜想结论,如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,一元二次方程根与系数关系的证明：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=,-,（韦达定理）,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=,-,（）2x2-3x+=0,例题,例题,典型题学习,例、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：,(1)(2)x12+x22,解：,由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,(1),=,=,=,典型题学习,例、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：,(2)x12+x22,(2)x12+x22(x1x2)2-2x1x2,(-)2,-2(-3)6,由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,多的,试一试,1、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：,由根与系数的关系，得,x1+x2=-2,x1x2=,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,设方程的另一个根为x1.,得,x12=k+1,x12=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,例2已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,试一试,2，已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=16,设方程的另一个根为x1.,得,x12=k+1,x12=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,例2已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,例2已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,解这个方程得：,x12,x23,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,把k=-2代入方程，得,解二：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由根与系数关系，得x123k,即2x16,x13,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,把k=-2代入方程，得,例2已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解三：,已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,试一试,把x=2代入方程，得20+2k-6=0,解这方程，得k=-7,解这个方程得：,x1-2,x2,答：方程的另一个根是,k的值是7。,把k=-7代入方程，得,解：,已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7方程的另一个根是，k=-7,试一试,x12,5x,x,-2,3,x2,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=,-,（韦达定理）,总结：,解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即：所以：得：,4.方程的两根互为倒数，求k的值。,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,解得k1=9,k2=-3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系