数学人教版九年级上册21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系.pptx

,22.2.4一元二次方程的根与系数的关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为2和3;-4和7;3和-8;-5和-2,x2-5x+6=0,x2-3x-28=0,(x-3)(x+8)=0,x2+5x-24=0,(x+5)(x+2)=0,(x+4)(x-7)=0,(x-2)(x-3)=0,x2+7x+10=0,问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？,新课讲解,如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2,那么有x1+x2=-p,x1x2=q,猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？,问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？,所以得到,x1+x2=,x1x2=,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,推导:,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,一元二次方程的根与系数的关系,16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的两根之和与两根之积。,练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,的值。,解：,根据根与系数的关系:,举一反三：1、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）(x1+2)(x2+2)；（2）,解：设方程的两个根是x1x2，那么,例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-7,举一反三：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,已知方程的两个实数根是且，求k的值。,解：由根与系数的关系得X1+X2=-k，X1X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0,=K2-4k-8当k=4时，0当k=-2时，0k=-2,解得：k=4或k=2,我要冲关：,2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.,3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,总结归纳,巩固练习1:,巩固练习2：5、已知方程的两根互为相反数，求k的值。6、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值。7、已知的两个实数根，求的值。,挑战自己：,8、关于x的方程的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.,9、已知关于X的方程,（1）当方程有两个实数根时，求k的取值范围，,的值为整，求整数k的值。,（2）如果x1、x2是方程的两个实数根，要使,挑战自己：,10、方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,学有余力