MATLAB课程设计---基于MATLAB的离散系统的Z域分析

Matlab 应用实践课程设计 课程设计任务书课程设计任务书 题目题目: :基于 MATLAB 的离散系统的 Z 域分析 课题要求：课题要求： 利用 MATLAB 强大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现 离散系统的 Z 域分析仿镇波形。 课题内容：课题内容： 一.用 MATLAB 绘制离散系统极零图，根据极零图分布观察系统单位响 应的时域特性并分析系统的稳定性。将极零图与 h(k)对照起来画，看 两者之间的关系。至少以六个例子说明。 二.用 MATLAB实现离散系统的频率特性分析 1. 以二个实例分别代表低通，高通滤波器，绘出极零图，幅频特性，相 频特性。 2. 用 MATLAB绘出梳状滤波器极零图与幅频特性 FIR 型H(z) 1 zN 1 zN IIR 型H(z) 设 N=8，a=0.8,0.9,0.98 NN1a z 三.用 MATLAB实现巴特沃兹滤波器分析 1.用MATLAB绘制巴特沃兹滤波器频率特性曲线 （wc,n作为参数变化） 2.用 MATLAB绘制巴特沃兹滤波器的极零点分布图 （wc,n 作为参数变 化） 将两种图对照起来看极点分布与频率特性之间的关系。 时间安排：时间安排： 学习 MATLAB 语言的概况第 1 天 学习 MATLAB 语言的基本知识第 2、3 天 学习 MATLAB 语言的应用环境，调试命令，绘图能力第 4、5 天 课程设计第 6-9 天 答辩第 10 天 指导教师签名：指导教师签名： 2013 2013 年年月月日日 系主任（或责任教师）签名：系主任（或责任教师）签名： 2013 2013 年年月月日日 1 Matlab 应用实践课程设计 目录目录 1 离散系统的 Z 域分析 . 3 1.1 z 变换 . 3 1.2 利用 MATLAB 的符号运算实现 z 变换 . 3 1.3 离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件. 3 2 离散系统零极点图及零极点分析. 4 2.1 离散系统零极点. 4 2.2 零极点的绘制. 5 3 MATLAB 实现离散系统的频率特性分析 . 11 3.1 低通滤波器 . 11 3.2 高通滤波器 . 12 3.3 梳状滤波器的特性分析 . 13 4 MATLAB 实现巴特沃兹滤波器分析. 17 5 总结体会. 19 6 参考文献. 19 2 Matlab 应用实践课程设计 1 1 离散系统的离散系统的 Z Z 域分析域分析 1.1 z1.1 z 变换变换 z变换是离散信号与系统分析的重要方法和工具。z变换在离散信号与系统分 析中的地位和作用，类似于连续信号与系统分析中的拉普拉斯变换，它将离散系 统的数字模型差分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。 离散序列x(n)的z变换定义为： X (Z) n x(n)z n。 在 MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z变换。其命令格式 为： syms n; f=(1/2)n+(1/3)n; ztrans(f) 1.21.2 利用利用 MATLABMATLAB的符号运算实现的符号运算实现 z z 变换变换 如果离散序列()xn可以用符号表达式，则可以直接用MATLAB的ztrans函数来 求离散序列的单边变换。 调用ztrans函数的命令格式为 Z=ztrans(X) Z=ztrans(X,w) 格式中输如参量X为离散序列的符号表达式，输出参量Z为返回默认符号自 变量为n的关于X的变换的符号表达式。 格式中输如参量X为离散序列的符号表达式，输出参量Z为返回符号自变量 为w的关于X的变换的符号表达式。 1.31.3 离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件 一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入与输 出关系，即y(n)= x(n)* h(n) 对该式两边取z变换，得：Y(z)= X(z) H(z) 则： H (z) Y(z) X (z) 将H(z)定义为系统函数，它是单位抽样响应h(n)的z变换，即 H (z) Zh(n) n h(n)zn 对于线性移不变系统， 若n0 时，h(n)=0， 则系统为因果系统； 若 n | h(n) | ， 则系统稳定。由于h(n)为因果序列，所以H(z)的收敛域为收敛圆外部区域，因 3 Matlab 应用实践课程设计 此H(z)的收敛域为收敛圆外部区域时， 系统为因果系统。 因为H (z) 若z=1 时H(z)收敛，即H (z) | z1 n h(n)zn， n | h(n) | ，则系统稳定，即H(z)的收敛域 包括单位圆时，系统稳定。 因此因果稳定系统应满足的条件为： | z | , 1，即系统函数H(z)的所 有极点全部落在z平面的单位圆之内。 2 2 离散系统零极点图及零极点分析离散系统零极点图及零极点分析 2.12.1 离散系统零极点离散系统零极点 线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即 NM a y(n i) b x(n j) （2-1） ij i0j0 其中y(k)为系统的输出序列，x(k)为输入序列。 将式（2-1）两边进行 Z 变换的 H (z) Y (z) X (z) M b z j j a z i i0 j0 N i B(z) （2-2） A(z) 将式（2-2）因式分解后有： (z q H (z) C j1 N i1 M j ) （2-3） (z p ) i 其中C为常数，q j( j 1,2,M) 为H(z)的M个零点，pi(i 1,2,N)为H(z)的 N个极点。 系统函数H(z)的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极 点已知，则系统函数便可确定下来。 因此， 系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通 过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： 系统单位样值响应 h(n) 的时域特性； 离散系统的稳定性； 离散系统的频率特性； 4 Matlab 应用实践课程设计 2.22.2 零极点的绘制零极点的绘制 (1)H(z) MATLAB程序实现： b=0,1,-1;a=1,-2.5,1; rz=roots(b) rp=roots(a) subplot(1,2,1),zplane(b,a); title(系统的零极点分布图); subplot(1,2,2),impz(b,a,20); title(系统的冲激响应); xlable(n);ylable(h(n); z 1 2z 2.5z 1 从图中可以看出该系统有一个零点z 1，两个极点，其中一个在单位圆内， 一个在单位圆外，系统不稳定。而冲激响应h(n)单调递增，不收敛更直观的验证 了系统的不稳定性。 5 Matlab 应用实践课程设计 0.2z40.1z30.3z20.1z 0.3 (2)H(z) 4z 1.1z31.5z20.7z 0.3 MATLAB程序实现： b=0.2,0.1,0.3,0.1,0.2;a=1,-1.1,1.5,-0.7,0.3; rz=roots(b) rp=roots(a) subplot(1,2,1),zplane(b,a); title(系统的零极点分布图); subplot(1,2,2),impz(b,a,20); title(系统的冲激响应); xlabel(n);ylabel(h(n); 本例中系统的四个极点均在单位圆内， 因而系统稳定， 其单位冲激响应收敛。 6 Matlab 应用实践课程设计 (3) H(z) z(z 0.3) (z 0.50.7 j)(z 0.50.7 j) MATLAB程序实现： z=0.3,0;p=0.5+0.7j,0.5-0.7j;k=1; b,a=zp2tf(z,p,k); subplot(1,2,1),zplane(z,p); title(系统的零极点分布图); subplot(1,2,2),impz(b,a,20); title(系统的冲激响应); xlabel(n);ylabel(h(n); 本例中H(z)有一对共轭复极点，均在单位圆内，其冲激响应也收敛，所以 系统稳定。 7 Matlab 应用实践课程设计 (4) H(z) z z 1 MATLAB程序实现： z=0;p=1;k=1; b,a=zp2tf(z,p,k); subplot(1,2,1),zplane(z,p); title(系统的零极点分布图); subplot(1,2,2),impz(b,a,20); title(系统的冲激响应); xlabel(n);ylabel(h(n); 本例中系统只有一个极点z 1处于单位圆上， 系统处于临界稳定状态， 其冲 激响应幅度恒定。 8 Matlab 应用实践课程设计 (5)H(z) z z 1 MATLAB程序实现： z=0;p=-1;k=1; b,a=zp2tf(z,p,k); subplot(1,2,1),zplane(z,p); title(系统的零极点分布图); subplot(1,2,2),impz(b,a,20); title(系统的冲激响应); xlabel(n);ylabel(h(n); 本例中系统只有一个极点z 1处于单位圆上，系统处于临界稳定状态，其 冲激响应幅度绝对值恒定。 9 Matlab 应用实践课程设计 (6)H(z) z(z 0.5) (z 0.60.8j)(z 0.60.8j) MATLAB程序实现： z=0.5,0;p=0.6+0.8j,0.6-0.8j;k=1; b,a=zp2tf(z,p,k); subplot(1,2,1),zplane(z,p); title(系统的零极点分布图); subplot(1,2,2),impz(b,a,20); title(系统的冲激响应); xlabel(n);ylabel(h(n); 本例中H(z)有一对共轭复极点，均在单位圆上，其冲激响应为稳幅振荡，所以 系统临界稳定。 10 Matlab 应用实践课程设计 3MATLAB3MATLAB 实现离散系统的频率特性分析实现离散系统的频率特性分析 3.13.1 低通滤波器低通滤波器 0.2z4 0.1z3 0.3z2 0.1z 0.3 H(z) z4 1.1z3 1.5z2 0.7z 0.3 MATLAB 程序实现 b=0.2,0.1,0.3,0.1,0.2; a=1,-1.1,1.5,-0.7,0.3; n=(0:500)*pi/500; h,w=freqz(b,a,n); subplot(3,1,1),plot(w/pi,abs(h);grid axis(0,1,1.1*min(abs(h),1.1*max(abs(h); title(幅频特性); subplot(3,1,2),plot(w/pi,angle(h);grid axis(0,1,1.1*min(angle(h),1.1*max(angle(h); title(相频特性); subplot(3,1,3),zplane(b,a); title(零极点分布图) 程序运行后得到的绘出极零图，幅频特性，相频特性如图1所示： 幅 频 特 性 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00.10.20.30.40.5 相 频 特 性 2 0 -2 00.1 1 0 -1 -50 Real Part 5 0.20.30.40.50.60.70.80.91 0.60.70.80.91 零 极 点 分 布 图 I m a g i n a r y P a r t 图 1 低通滤波器 11 Matlab 应用实践课程设计 3.23.2 高通滤波器高通滤波器 0.1z3 0.4z2 0.4z 0.1 H(z) 32z 0.3z 0.55z 0.2 b=0.1,-0.4,0.4,-0.1; a=1,0.3,0.55,0.2; n=(0:500)*pi/500; h,w=freqz(b,a,n); subplot(3,1,1),plot(w/pi,abs(h);grid axis(0,1,1.1*min(abs(h),1.1*max(abs(h); title(幅频特性); subplot(3,1,2),plot(w/pi,angle(h);grid axis(0,1,1.1*min(angle(h),1.1*max(angle(h); title(相频特性); subplot(3,1,3),zplane(b,a); title(零极点分布图) 程序运行后得到的绘出极零图，幅频特性，相频特性如图2所示： 幅频特性 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00.10.20.30.40.5 相频特性 2 0 -2 0 I m a g i n a r y P a r t 0.60.70.80.91 0.1 1 0 -1 -4 0.20.30.40.50.60.70.80.91 零极点分布图 -20 Real Part 246 图 2 高通滤波器特性 12 Matlab 应用实践课程设计 3.33.3 梳状滤波器的特性分析梳状滤波器的特性分析 3.3.1FIR3.3.1FIR 型梳状滤波器型梳状滤波器 H(z) 1 zN MATLAB程序实现 b=1,0,0,0,0,0,0,0,-1; a=1; H,w=freqz(b,a);%求它们的频率特性 subplot(2,1,1);zplane(b,a);%画出FIR梳状滤波器的零极图 title(FIR梳状滤波器零极图); subplot(2,1,2);plot(w/pi,abs(H); title(FIR梳状滤波器幅频响应曲线);%画出FIR梳状滤波器的幅频特性 ylabel(幅度);xlabel(/); FIR梳状滤波器极零图与幅频特性如图3所示： 梳 状 滤 波 器 零 极 图 1 I m a g i n a r y P a r t 0.5 0 -0.5 -1 -3-201 Real Part FIR梳 状 滤 波 器 幅 频 响 应 曲 线 -123 8 2 1.5 幅 度 1 0.5 00 0.10.20.30.40.5 / 0.60.70.80.91 图 3 FIR 滤波器特性 13 Matlab 应用实践课程设计 3.3.2IIR3.3.2IIR 型梳状滤波器型梳状滤波器 1 zN H(z) 设 N=8，a=0.8,0.9,0.98 NN1a z （1） N=8，a=0.8 MATLAB程序实现： b=1,0,0,0,0,0,0,0,-1; a=1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.8)8; H,w=freqz(b,a);%求它们的频率特性 subplot(2,1,1);zplane(b,a);%画出IIR梳状滤波器的零极图 title(IIR梳状滤波器零极图,a=0.8); subplot(2,1,2);plot(w/pi,abs(H); title(IIR梳状滤波器幅频响应曲线,a=0.8);%画出IIR梳状滤波器 的幅频特性 ylabel(幅度);xlabel(/); IIR梳 状 滤 波 器 零 极 图 ,a=0.8 1 I m a g i n a r y P a r t 0.5 0 -0.5 -1 -3-2012 Real Part IIR梳 状 滤 波 器 幅 频 响 应 曲 线 ,a=0.8 -13 2 1.5 幅 度 1 0.5 00 0.10.20.30.40.5 / 0.60.70.80.91 图 4 IIR 滤波器 N=8，a=0.8 14 Matlab 应用实践课程设计 （2）N=8,a=0.9 MATLAB程序实现： b=1,0,0,0,0,0,0,0,-1; a=1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.8)8; H,w=freqz(b,a);%求它们的频率特性 subplot(2,1,1);zplane(b,a);%画出IIR梳状滤波器的零极图 title(IIR梳状滤波器零极图,a=0.8); subplot(2,1,2);plot(w/pi,abs(H); title(IIR梳状滤波器幅频响应曲线,a=0.8);%画出IIR梳状滤波器 的幅频特性 ylabel(幅度);xlabel(/); IIR梳 状 滤 波 器 零 极 图 ,a=0.9 1 I m a g i n a r y P a r t 0.5 0 -0.5 -1 -3-2012 Real Part IIR梳 状 滤 波 器 幅 频 响 应 曲 线 ,a=0.9 -13 1.5 1 幅 度 0.5 00 0.10.20.30.40.5 / 0.60.70.80.91 图 5 IIR 滤波器 N=8，a=0.9 15 Matlab 应用实践课程设计 (3)N=8,a=0.98 MATLAB程序实现： b=1,0,0,0,0,0,0,0,-1; a=1,0,0,0,0,0,0,0,-(0.98)8; H,w=freqz(b,a);%求它们的频率特性 subplot(2,1,1);zplane(b,a);%画出IIR梳状滤波器的零极图 title(IIR梳状滤波器零极图,a=0.98); subplot(2,1,2);plot(w/pi,abs(H); title(IIR梳状滤波器幅频响应曲线,a=0.98);%画出IIR梳状滤波器 的幅频特性 ylabel(幅度);xlabel(/); IIR梳 状 滤 波 器 零 极 图 ,a=0.98 1 I m a g i n a r y P a r t 0.5 0 -0.5 -1 -3-2012 Real Part IIR梳 状 滤 波 器 幅 频 响 应 曲 线 ,a=0.98 -13 1.5 1 幅 度 0.5 00 0.10.20.30.40.5 / 0.60.70.80.91 图 6 IIR 滤波器 N=8，a=0.98 16 Matlab 应用实践课程设计 4MATLAB4MATLAB实现巴特沃兹滤波器分析实现巴特沃兹滤波器分析 巴特沃兹滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而却随着频率而 单调的下降，其幅度平方函数具有如下形式： 式中，N 为整数，称为滤波器的阶数，N 越大，通带和阻带的近似性越好，过渡 带也越陡。 MATLAB程序实现： n=input(N=); wc=input(WC=); a=1./(i*wc)(2*n),zeros(1,2*n-1),1;%定义系统函数分母多项式系数向量 b=1; rz=roots(b); rp=roots(a); n=(0:500)*pi/500; h,w=freqs(b,a,n); subplot(2,1,1);pzmap(rp,rz); title(巴特沃兹滤波器极点分布图); xlabel(S平面实轴); ylabel(S平面虚轴); subplot(2,1,2);plot(w/pi,abs(h);grid axis(0,1,1.1*min(abs(h),1.1*max(abs(h); title(幅频特性); 17 Matlab 应用实践课程设计 实际实现时n=6,wc=2,得到的零极点图和频率响应如下： 巴特沃兹滤波器极点分布图 2 S 平 面 虚 轴 ( s e c o n d s - 1) 1 0 -1 -2 -2-1.5-1-0.500.511.52 S平面实轴 (seconds-1) 幅 频 特 性 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 实际实现时n=10,wc=2,得到的零极点图和频率响应如下： 巴特沃兹滤波器极点分布图 2 S 平 面 虚 轴 ( s e c o n d s - 1) 1 0 -1 -2 -2-1.5-1-0.500.5