简谐运动的合成和分解

.,4-2简谐运动的合成和分解,4-2-1简谐运动的合成,1.两个同方向、同频率的简谐运动的合成,某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：,.,A1、A2、A一起以转动，保持相对静止。,结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐振动。,.,的具体象限要根据确定。,.,合振动的强弱与两分振动相位差的关系,注：常采用矢量合成来处理振动合成的问题。,.,同方向同频率振动合成,.,多个同一直线上、同频率谐振动的合成多边形法则,特例:,.,例11:两个同方向的简谐运动曲线(如图所示),(1)求合振动的振幅;(2)求合振动的振动方程。,解:(1),(2),.,解：,例12:两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的振幅为20cm,与第一个振动的相位差为.若第一个振动的振幅为.则(1)第二个振动的振幅为多少？(2)两简谐运动的相位差为多少？,.,两矢量同向重合时：,合振动振幅A极大；,合振动振幅A极小。,两矢量反向重合时：,拍：合振动的振幅时强时弱的现象,2、同方向不同频率两谐振动的合成拍,.,拍现象,.,拍的周期,拍的频率(简称拍频),.,从解析式来分析：,.,拍现象的应用：用音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率,当,但彼此相差很小，,.,3.相互垂直的简谐运动的合成,x方向的谐振动,y方向的谐振动,.,相互垂直的同频率简谐振动的合成,结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成，其振动轨迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。,.,讨论：,（1）当时,结论：合振动为线振动，轨迹为一直线。斜率不同，方向不同。,.,结论：质点振动轨迹为正椭圆,当：,.,利萨如图相互垂直的简谐振动的合成,两个互相垂直、不同频率的简谐振动合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做利萨如图。,Lissajous1822-1880,.,其中频率为1:1的李萨如图为椭圆,在一定的相位差条件下,退化为一直线.,.,利萨如图形,相互垂直的简谐振动的合成,.,4-2-2简谐运动的分解,两个频率比为1:2的简谐运动的合成,如果将一系列角频率是某个基本角频率（亦称主频）的整数倍的简谐运动叠加，则其合振动仍然是以为角频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。,.,一个以为频率的周期性函数f(t)，可以用傅里叶级数的余弦项表示为：,：主频,：n次谐频,.,频谱分析,.,4-3阻尼振动、受迫振动和共振,4-3-1阻尼振动,阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动。,：阻尼系数,.,令,：无阻尼时振子的固有频率,：阻尼因子,动力学方程,.,方程解：,解微分方程：,1、欠阻尼情况：阻力很小,.,周期：,角频率：,.,2、过阻尼情况:阻尼较大()时，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。,3、临界阻尼情况：当（2=）时，为“临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限。,.,总括起来有：欠阻尼振动：振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.,.,火炮的阻尼,.,4-3-2受迫振动和共振,系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。,受迫振动：,策动力：,周期性的外力,设：,1.受迫振动,.,由牛顿第二定律,令,方程的解：,驱动力,.,在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为,第一项为暂态项，经过一端时间以后趋向于零，为积分常数，由初始条件确定；,第二项为稳定项，将特解代入原方程求得,.,（1）,对t求导：,（2）,.,在（2）式中令t=0：,1.受迫振动是阻尼振动和简谐振动的合成。2.经一段相当的时间后，阻尼振动衰减到可以忽略不计，这样就成为一简谐振动，其周期为强迫力的周期，振幅、初相位不仅与初条件有关，而且与强迫力的频率和力幅有关。,结论,.,稳定后的振动表达式：,结论：受迫振动的频率与策动力的频率相等。,受迫振动的振幅：,受迫振动的初相位：,结论：稳态响应的振幅与外力幅值成正比。,归纳:,.,共振：当策动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。,2.共振,求极值：,共振频率：,共振振幅：,0为固有频率,.,阻尼系数越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率O，同时共振振幅Ar也越大。,结论：,.,受迫振动的速度：,速度幅：,时，速度幅极大,在速度共振条件下稳态振动的初相位为,结论：速度和策动力有相同的相位。即策动力对振动系统始终做正功。,速度共振又称能量共振！,.,共振小人,.,1940年，TacomaNarrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。,shoupo.m,.,例13：一物