质心运动定理(理论力学)

12.3重心运动定理反映了由式(12.10 )定义的重心位置在质点系的质量分布的特征重心概念及其运动在质点系(特别是刚体)动力学中具有重要的地位。 (12.10 )，2 .重心的力学意义质点系中各质点的质量相等时：1/n与I无关，为公因子。 式中：ri系数1/n表示第I个质点的质量在质点系的质量中所占的比例，重心的矢量径rc是各质点的平均矢量径。 (12.11质点系中各质点的质量不相等时。 有： ri的系数表示第I个质点的质量在质点系的质量中所占的比例，质心的矢量径rc是各质点在该质量中所占的比例的平均位置。 重心的作用讨论表明，重心的位置与质点系的质量分布状况有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，因此重心的概念是动力学的重要概念之一。 (12.12 )，根据重心的坐标计算重心位置时，经常使用上式的正交坐标系中的投影形式，即，式中mi点是第I个质点的质量，xi、yi、zi、第I个质点的位置坐标，m是质点系的质量。 重心是质点系的特定点，质点系运动，重心也运动。 将质点系的质量集中在重心作为质点，可知该质点的运动量等于质点系的运动量，重心运动具有特殊的意义。 当物体在重力场中运动时，可以看出重心和重心是一致的。 但请注意，重心和重心是两个不同的概念。 重心与重心的比较：将上述各等号右端的分子与分母乘以重力加速度g，得到质点系的重心坐标式。 重心仅存在于质点系受到重力作用的情况下(即地球表面附近)，重心与质点系是否受到重力作用无关，是由质点系的存在而存在的。 因此，重心概念的适用范围要广得多。 (12-13 )或2、重心速度、重心c运动速度可以从式(12.10 )导出：式(12.15 )是计算质点系动量的简便方法. 由以上的式子可知，无论质点如何运动，在计算质点系的运动量时，不考虑其中每个质点的速度，只要知道质点系的质量和重心的速度就足够了。 设(12.14 )、(12.15 )角速度为w，从重心c到旋转轴的距离为e，则由式(12.15 )可知，该刚体运动量的大小为w，例如，绕设定轴旋转的刚体，在刚体重心处于旋转轴上的情况下，与旋转角速度无关，其运动量始终为零。 3、重心加速度将式(12.14 )导入时间，得到、2、重心运动定理，上式表示质点系的质量与重心加速度的乘积等于作用于质点系的外力的向量和。 同时指出内力不能改变重心的运动。 从形式上讲，质心运动定理与质点的动力学基本方程完全类似，因此质心运动定理也可以描述如下： (12.17 )，质点系的质心运动类似于质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量，作用于该质点的力等于作用于整个质点系的外力的向量和。 此外，重心运动定理投影到坐标轴上： 质点系质量与向具有重心加速度的轴的投影的积等于向质点系受到外力的主向量向同一轴的投影，该式被称为投影形式的重心运动定理。 的双曲馀弦值。 (12.18 )、(12.17 )、三、作用于重心运动保存、质点系统的所有外力投影到轴上的代数和常数等于零。 沿重心轴的坐标保持不变。 以上结论被称为重心运动守恒定律。 图心等速直线运动开始静止后，重心位置始终不变。 注意：只有外力影响重心的运动，内力不影响重心的运动，没有外力时，重心的运动被保存，原来静止的质点系统是静止的。 汽车在光滑的路面起步，路面没有摩擦力，车轮就不会空转，也就是说车轮的心不能向前移动，没有外力就不能运动。有很多例子可以用来说明质心运动依赖于作用在质点系统上的外力。 例如，人在没有摩擦的平滑路面上行走是不可能的。汽车开动时，发动机缸内的气体压力对整个汽车来说是内力，不能让汽车前进。 只是，气体推压活塞，通过传动机构使主轮旋转，向主轮作用前方的摩擦力，而且当该摩擦力大于整体阻力时，汽车可以前进。 例3设置电动机并用螺栓固定在水平地面上，如图所示，将电动机壳体和定子的质量设为m1，将它们的重心设为c1，在转子的轴线上将转子的质量设为m2。 另外，由于制造不正确，其重心远离转子轴线e，计算电机以角速度旋转时螺栓受到的水平剪切力和地面的垂直反作用力。 解： (1)研究整个马达视为一个整体，受力分析，图：作用于重心的外力为重力m1g、m2g的螺栓的约束反力Rx、Ry。 (2)静坐标制作图：电动机的重心c的方程式：式： x1=y1=0、壳体与定子的重心c1的坐标； x2、y2是转子c2的坐标。 另外，在最初的瞬间，c2位于x轴上，并且在经过了时间t之后，设旋转角为=t，则代替质心坐标式而对质心c的运动方程式： (1)、(2)、(3)、质心c的运动方程式的两端进行微分，质心运动微分方程式： (3)、(4)、(4)质心运动微分方程式：RxRx是从螺栓到电动机的水平移动反作用力，电动机是从螺栓到电动机的水平移动反作用力ry-马达在垂直方向受到的全反作用力为Ry0时，其方向为向上，来自地面的Ry0时，其方向为向下，可知来自螺栓的张力。 此时，马达有离开地面的倾向，因此地面不受压迫，马达不受反作用力。 另外，从该例子可知，由于机械上的转子的重心不在旋转轴上，重心的位置随时间变化，因此周期性的压力作用在基座上。 另外，随时间周期性变化的动压常常引起基础振动，影响机器的正常运行和零件的损坏。 为了防止这种现象，在机械的设计和安装中，为了减小作用在基座上的动压，必须使旋转部的重心尽可能位于旋转轴上。 练习题12.19均质棒AB，长2L，垂直安静地放在光滑的水平面上受到微小的干扰后，初速不倒下。 杠杆AB倒下时，求点a的轨迹方程式。 解：以均质杆AB为研究对象，杆AB垂直时的轴线为y轴，制作图示坐标系。 AB杆倾倒过程中受到的外力为重力mg、平滑的水平面的法线反作用力FN、杆倾倒过程中质点系动量保存在x方向上，另外，t=0时，杆静止，因此重心运动保存在x方向上，有：在任意一个瞬间，杆AB与x轴的角度为时，有：因此/在水平光滑的直线轨道上有小车，一个人站在车上。 设定购物车的重量w、人的重量q，开始系统的静止。 人在车上行走时，解：以人和车为质点系统，受力图，运动分析： t=0，系统静止，w、q、vr、v，从受力分析中可以看出，将、x、y、o、某瞬间人对推车的速度设为vr，试着求出此时的车速v。 t时刻：车v、人v vr、车重w、人重q、某瞬间人对车的速度为vr，求出此时的车速v吗？ t=0时系统静止t :车v、人v vr、w、q、vr、v、x、y、o、(静止)，例如12.7浮动起重机的质量m1=20000kg、质量m2=2000kg的重物，起重臂AB从与铅直线成60度角度的位置起垂直动臂长度AB=8m，动臂的重量和水的阻力几乎没有，系统静止。解： (1)研究对象：重量物和起重机组成的质点系(2)受力分析：铅垂方向的重力m1g、m2g； 作用线通过质点系重心的浮力f，(3)运动解析：由于只有铅直方向的外力，力在水平方向的投影为o，质点系的重心c必须在水平方向静止。 动臂旋转时，重物向右水平位移，因此起重机相应地向左水平位移，水平距离移动1s。 另外，以a铰链的初始位置重合的点o为原点制作坐标系oxy图时，在最初期末的两个瞬间，质点系重心c的坐标分别为：式中，d为起重机重心c1与铰链a的水平距离。 重心c无水平位移，因此xc=xco，起重机向左移动水平距离0.266m。 另外，由于重心c没有水平位移，所以xc=xco，在例示的曲柄滑块机构中，曲柄AB受到偶力而以角速度w旋转，滑块c沿着x轴折弯。 如果AB=BC=l，则AB和BC为均质杆，质量为m1，滑块的质量为m2。 试着求出该系统的重心运动方程式、轨迹以及该系统的运动量。 解： t=0时设AB杆级，则f=wt。 根据式(12.13 )，重心c的坐标是该系统的重心c的运动方程式。 AB均一角速度w旋转，AB=BC=l，AB和BC为均质杆，质量m1，滑块的质量m2。 试着求出该系统的重心运动方程式、轨迹以及该系统的运动量。 重心c的坐标为，上式为该系统重心c的运动方程式。 根据上式的消除时间t，重心c的运动轨迹成为椭圆。 应当指出，重心通常不在其中的某个物体，而在空间的某个特定点。 另外，为了求出系统的运动量，若将式(12.13 )沿x、y轴投影，则在px=mvCxpy=mvCy的例子中，m=mi=2m1 m2。 根据上式，系统运动量沿着x、y轴投影： px=mvcx=-2 (m1m2)-lwsinwtpy=mvcy=m1- lwcoswt系统运动量的大小：运动量的方向沿着重心轨迹的切线方向，可以用其方向馀弦表示。 练习题12.12均质曲柄AB长r，质量m1，受到力偶，以一定的角速度w旋转，移动滑道连杆和固定在其上的活塞d。 滑道、连杆、活塞的总质量为m2，重心在点c。 一定的力f作用在活塞上。 忽略摩擦，求出作用于曲轴的最大洪水二等分力Fx。 解：选择整个组织作为研究的质点系。 水平方向作用的外力为Fx和f，偶力不影响重心运动。 练习题12.12均质曲柄AB长r，质量m1，受到力偶，以一定的角速度w旋转，移动滑道连杆和固定在其上的活塞d。 滑道、连杆、活塞的总质量为m2，重心在点c。 一定的力f作用在活塞上。 忽略摩擦，求出作用于曲轴的最大洪水二等分力Fx。 解