等差数列的前n项和

2.3等差数列的前n项和,自主预习,课堂探究,自主预习,1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法倒序相加法.2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.,课标要求,知识梳理,1.数列an前n项和的定义及表示一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=.,3.等差数列前n项和的性质记等差数列an中,其前n项和为Sn,则an中连续的n项之和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,构成公差为n2d的等差数列.,a1+a2+a3+an,自我检测,C,1.(等差数列前n项和公式)在等差数列an中,已知a1=2,d=2,则S5等于()(A)10(B)20(C)30(D)40,B,2.(与等差数列性质结合的前n项和的求法)记在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于()(A)58(B)88(C)143(D)176,D,解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),所以4+(S6-20)=2(20-4),所以S6=48.故选D.,3.(等差数列前n项和的性质)记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于()(A)42(B)44(C)46(D)48,答案:-2,4.(等差数列前n项和公式的应用)等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d=.,答案:288,5.(等差数列前n项和公式的应用)等差数列an的前n项和为Sn,若a8=3,a13=13,则S24=.,课堂探究,等差数列前n项和的基本运算,题型一,答案:(1)25(2)110,题后反思a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.,答案:(1)A(2)30,【备用例1】已知an是等差数列,Sn为其前n项和,nN*,a3=16,S20=20,若Sn=110,则n=.,答案:10或11,等差数列前n项和的最值问题,题型二,【教师备用】1.等差数列an的前n项和公式一定是关于n的二次函数吗?,2.设等差数列an的前n项和为Sn则Sn的最值情况与首项a1,公差d的正负性有什么关系?,提示:,【例2】在等差数列an中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.,题后反思求解等差数列an前n项和Sn的最值问题常用方法(1)二次函数法:即先求得Sn的表达式,然后配方.若对称轴恰好为正整数,则就在该处取得最值;若对称轴不是正整数,则应在离对称轴最近的正整数处取得最值,有时n的值有两个,有时可能为1个.,(3)寻求正、负项交替点法,即利用等差数列的性质,找到数列中正数项与负数项交替变换的位置,其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项),然后确定Sn的最值.,【思维激活】(2014高考江西卷)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.,【备用例2】在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.,等差数列前n项和的性质及应用,题型三,【例3】已知an为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.,题后反思(1)求数列的前n项和有着不同的途径,特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前n项和的性质使问题解决变得很简单.,an与Sn的关系及其应用,题型四,题后反思已知an与Sn的关系,求an的步骤:(1)当n2时,用an=Sn-Sn-1计算得到an;(2)当n=1时,用a1=S1计算得到