第四节数系的扩充与复数的引入

第四节数系的扩充与复数的引入,【知识梳理】1.复数的有关概念,a+bi,a,b,b=0,b0,a=0,且b0,a=c且,b=d,a=,c且b=-d,实,轴,虚轴,2.复数的几何意义复数z=a+bi(a,bR)复平面内的点Z(a,b)向量.,3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,(2)复数加法的运算律:设z1,z2,z3C,则复数加法满足以下运算律:交换律:z1+z2=_;结合律:(z1+z2)+z3=_.,z2+z1,z1+(z2+z3),【特别提醒】1.i的乘方具有周期性in=(kZ).,2.复数的模与共轭复数的关系z=|z|2=|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小.(2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,dR的前提条件.,【小题快练】链接教材练一练1.(选修1-2P61习题3.2A组T5(3)改编)复数的共轭复数是()A.2-iB.2+iC.3-4iD.3+4i【解析】选C.原式=2=(2+i)2=3+4i.所以其共轭复数为3-4i.,2.(选修1-2P63A组T1(3)改编)若复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围为()A.m1B.mC.m1D.m1,【解析】选D.m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i由题意,得解得m1.,感悟考题试一试3.(2015广东高考)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.-2B.2C.-2iD.2i【解析】选D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.,4.(2015全国卷)若a为实数,且=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4【解析】选D.由题意可得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4ia=4.,5.(2015北京高考)复数i(1+i)的实部为.【解析】i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.答案:-1,考向一复数的有关概念【典例1】(1)(2015湖北高考)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.iB.-iC.1D.-1(真题溯源:本题源自A版选修1-2P63B组T2),(2)(2015天津高考)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.【解题导引】(1)根据in(nN*)的周期性化简i607,再求其共轭复数.(2)先根据复数的乘法法则化简,再由纯虚数的定义列方程求实数a.,【规范解答】(1)选A.因为i607=(i2)303i=-i,-i的共轭复数为i,所以应选A.(2)复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a0,所以a=-2.答案:-2,【母题变式】1.若本例题(2)条件“纯虚数”变为“实数”,试求实数a的值.【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是实数,所以1-2a=0,即a=.,2.若本例题(2)条件“复数(1-2i)(a+i)是纯虚数”变为“复数(1-2i)(a+i)的模是5”,试求实数a的值.【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,所以|(1-2i)(a+i)|=5,即a2=4,a=2.,【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.,【变式训练】(2015重庆高考)设复数a+bi(a,bR)的模为,则(a+bi)(a-bi)=.【解析】因为复数a+bi(a,bR)的模为,即所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.答案:3,【加固训练】1.(2014全国卷)设z=,则|z|=()【解析】选B.,2.(2014山东高考)已知a,bR,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i【解析】选A.因为a+i=2-bi,所以a=2,b=-1,所以(a+bi)2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.,3.(2014大纲版全国卷)设z=,则z的共轭复数为()A.-1+3iB.-1-3iC.1+3iD.1-3i【解析】选D.则=1-3i.,4.设mR,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数m=-2.答案:-2,考向二复数的几何意义【典例2】(1)(2015安徽高考)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,(2)(2014全国卷)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i【解题导引】(1)先将所给复数化简为a+bi的形式,再求解.(2)转化点的对称问题即可.,【规范解答】(1)选B.其对应点的坐标为(-1,1),此点在第二象限.(2)选A.因为z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5.,【规律方法】复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.,【变式训练】(2016石家庄模拟)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D,【解析】选B.设点A表示复数z=a+bi,其中a0,所以其共轭复数是=a-bi,在图中应该是点B对应的复数,故选B.,【加固训练】1.(2016太原模拟)复数z=(i为虚数单位),z在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,【解析】选A.因为所以z在复平面内所对应的点在第一象限.,2.(2016济南模拟)在复平面内,复数对应的点到直线y=x+1的距离是(),【解析】选D.复数对应复平面内的点(1,1),它到直线y=x+1的距离是,3.复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=i(1+i)=-1+i,而(-1,1)对应的点在第二象限,所以选B.,考向三复数的四则运算【考情快递】,【考题例析】命题方向1:复数的加、减、乘法运算【典例3】(2015北京高考)复数i(2-i)=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i(真题溯源:本题源自A版选修1-2P61习题3.2A组T4(1),【解题导引】根据复数乘法法则计算,注意i2=-1.【规范解答】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i.,命题方向2:复数的除法运算【典例4】(2014全国卷)=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i,【解题导引】根据幂的运算法则把(1+i)3降幂运算.【规范解答】选D.,【一题多解】解答本题,还有以下解法:选D.,命题方向3:解简单的复数方程【典例5】(2015全国卷)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i(真题溯源:本题源自A版选修1-2P63B组T1)【解题导引】化简变形,转化为复数的除法运算.,【规范解答】选C.因为(z-1)i=1+i,所以z=2-i.,【一题多解】解答本题,还有以下解法:选C.因为(z-1)i=1+i,所以z-1=所以z=2-i.,【技法感悟】利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的加、减、乘法运算:满足多项式的加、减、乘法法则,利用法则后将实部与虚部分别写出即可,注意多项式乘法公式的运算.,(2)复数的除法运算:主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简.(3)解简单的复数方程:利用复数的四则运算求解即可.,【题组通关】1.(2015四川高考)设i是虚数单位,则复数i3-=()A.-iB.-3iC.iD.3i【解析】选C.,2.(2015湖南高考)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选D.验证各选项,只有z=-1-i时,3.(2015山东高考)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+i