2016年北京市海淀区高三上学期期末数学理科试题

.数学（理科） 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ABDCACDD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号91011121314答案；说明：第9，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15解：（）因为 .1分 .5分 （两个倍角公式，每个各2分） .6分所以函数的最小正周期. .7分 （）因为，所以，所以. .8分 当时，函数取得最小值; .10分当时，函数取得最大值, .12分因为,所以函数在区间上的最大值与最小值的和为. .13分16.解：（）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件， .1分 所以， .5分 则. .6分 法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期， .1分 所以, .3分 所以. .6分（）随机变量可以取 ， .7分 所以 , , .11分 所以. .13分 17解：（）过点作，交于,连接,因为，所以. .1分又，所以. .2分所以为平行四边形, 所以. .3分又平面，平面, .4分（一个都没写的，则这1分不给）所以平面. .5分（）因为梯形中，, 所以.因为平面，所以, 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系, .6分所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即， .7分取得到, .8分同理可得, .9分所以, .10分因为二面角为锐角，所以二面角为. .11分（）假设存在点，设， 所以, .12分所以，解得, .13分所以存在点，且. .14分18解：（）因为,所以， .1分当时，. .2分令 ， 得 ， .3分所以随的变化情况如下表：极大值极小值 .6分所以在处取得极大值， 在处取得极小值. .7分函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为.8分（）证明： 不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1. 因为，令，得. .9分因为时，所以. 当时，对成立，函数在区间上单调递减，.10分所以函数在区间上的最大值为, 所以不等式在区间上无解； .11分当时，随的变化情况如下表：极小值所以函数在区间上的最大值为或. .12分此时, ，所以 . 综上，当时，关于的不等式在区间上无解. .13分 19解：（）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以. .1分又离心率为，所以，所以, .2分所以, .3分所以的方程为. .4分（）法一：设点，设直线的方程为， .5分与椭圆方程联立得, 化简得到, .6分因为为上面方程的一个根，所以，所以. .7分所以. .8分因为圆心到直线的距离为， .9分所以, .10分因为， .11分代入得到 . .13分显然，所以不存在直线，使得. .14分法二：设点，设直线的方程为， .5分与椭圆方程联立得化简得到, 由得. .6分显然是上面方程的一个根，所以另一个根，即. .7分由， .8分因为圆心到直线的距离为， .9分所以. .10分因为， .11分代入得到, .13分若，则，与矛盾，矛盾，所以不存在直线，使得. .14分法三：假设存在点，使得，则 ，得. .5分显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， .6分由，得 , 由得， .7分所以. .9分同理可得， .11分所以由得， .13分 则，与矛盾， 所以不存在直线，使得. .14分20.解：（）因为是数列，且所以，所以, 所以，解得, .1分 所以. .3分 () 假设数列的项都是正数，即，所以，与假设矛盾.故数列的项不可能全是正数, .5分 假设数列的项都是负数，则而,与假设矛盾, .7分故数列的项不可能全是负数.()由()可知数列中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数满足（）. 设，则.,故有, 即数列是周期为9的数列 .9分由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数. 因为,所以当时，;当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,记这项中负数项的个数为，当时，若 则，故为负数，此时，；若则，故为负数.此时，当时，必须为负数，,