【真题】2015年高考数学（文科）课标卷Ⅰ（Word版含答案解析）.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中元素的个数为()A.5B.4C.3D.22.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)3.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.1205.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.126.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.128.函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.k-14,k+34,kZ B.2k-14,2k+34,kZC.k-14,k+34,kZD.2k-14,2k+34,kZ9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5 B.6 C.7 D.810.已知函数f(x)=2x-1-2,x1,-log2(x+1),x1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74 B.-54 C.-34 D.-1411.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.812.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=()A.-1B.1C.2D.4第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.14.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则a=.15.若x,y满足约束条件x+y-20,x-2y+10,2x-y+20,则z=3x+y的最大值为.16.已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当APF周长最小时,该三角形的面积为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.()若a=b,求cos B;()设B=90,且a=2,求ABC的面积.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.()证明:平面AEC平面BED;()若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.()根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;()已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据()的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v- u.20.(本小题满分12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.()求k的取值范围;()若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e2x-aln x.()讨论f(x)的导函数f (x)零点的个数;()证明:当a0时, f(x)2a+aln2a.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E.()若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;()若OA=3CE,求ACB的大小.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()求C1,C2的极坐标方程;()若直线C3的极坐标方程为=4(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.()当a=1时,求不等式f(x)1的解集;()若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.D由已知得A=2,5,8,11,14,17,又B=6,8,10,12,14,所以AB=8,14.故选D.2.A根据题意得AB=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.3.C由已知得z=1+ii+1=2-i,故选C.4.C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P=110,故选C.5.B抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为离心率e=ca=12,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|=2b2a=2124=6.故选B.评析本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.6.B设圆锥底面的半径为R尺,由142R=8得R=16,从而米堆的体积V=1413R25=16203(立方尺),因此堆放的米约有162031.6222(斛).故选B.7.B由S8=4S4得8a1+8721=44a1+4321,解得a1=12,a10=a1+9d=192,故选B.评析本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.8.D由题图可知T2=54-14=1,所以T=2,=,又由题图知f 14=0,即4+=2+2k,kZ,得=4+2k,kZ,此时f(x)=cos x+4+2k=cosx+4,kZ,由2kx+42k+,kZ,得2k-14xt,结束循环,输出n为7,故选C.10.A当a1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;当a1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即log2(a+1)=3,得a+1=23=8,a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.故选A.评析本题主要考查分段函数,指数与对数的运算,考查分类讨论的思想,属中等难度题.11.B由已知条件可知,该几何体由圆柱的一半和半球组成,其表面积为2r2+r2+4r2+2r2=5r2+4r2.由5r2+4r2=16+20得r=2.故选B.12.C在y=f(x)的图象上任取一点P(x0,y0),则P(x0,y0)关于直线y=-x对称的点为P(-y0,-x0),所以P必在y=2x+a的图象上,即-x0=2-y0+a,所以-y0+a=log2(-x0),所以y0=a-log2(-x0),所以f(x)=a-log2(-x),又f(-2)+f(-4)=1,所以2a-log22-log24=1,所以2a-1-2=1,解得a=2,故选C.二、填空题13.答案6解析由已知得an为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得2(1-2n)1-2=126,解得2n+1=128,n=6.评析本题主要考查等比数列的定义及前n项和公式,属容易题,注意运算要准确哦!14.答案1解析由题意可得f (x)=3ax2+1,f (1)=3a+1,又f(1)=a+2,f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.15.答案4解析由线性约束条件画出可行域,如图.解方程组x+y-2=0,x-2y+1=0得x=1,y=1,即A点坐标为(1,1).当动直线3x+y-z=0经过点A(1,1)时,z取得最大值,zmax=31+1=4.16.答案126解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F,则F(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF|=2+|PF|.APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF|AF|+2=17,即当A、P、F三点共线时,APF的周长最小.设P点坐标为(x0,y0),y00,由x0-3+y066=1,x02-y028=1得y02+66y0-96=0,所以y0=26或y0=-86(舍去).所以当APF的周长最小时,该三角形的面积S=12666-12626=126.三、解答题17.解析()由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=14.(6分)()由()知b2=2ac.因为B=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以ABC的面积为1.(12分)评析本题考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,属容易题.18.解析()因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(5分)()设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=1312ACGDBE=624x3=63.故x=2.(9分)从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.(12分)19.解析()由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)()令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.由于d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-d w=563-686.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.(6分)()(i)由()知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值z=576.60.2-49=66.32.(9分)(ii)根据()的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)评析本题主要考查变量间的相关关系及回归分析,正确求出回归直线方程是解题关键,考查学生的运算求解能力,属中等难度题.20.解析()由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k0).当a0时, f (x)0, f (x)没有零点;当a0时,因为y=e2x单调递增,y=-ax单调递增,所以f (x)在(0,+)上单调递增.又f (a)0,当b满足0ba4且b14时, f (b)0时, f (x)存在唯一零点. (6分)()由(),可设f (x)在(0,+)上的唯一零点为x0,当x(0,x0)时, f (x)0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,所以当x=x0时, f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x0-ax0=0,所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a.故当a0时, f(x)2a+aln2a.(12分)评析本题主要考查利用导数求函数零点及利用导数研究不等式,考查分类讨论思想,是综合性较强的题,属难题!22.解析()连结AE,由已知得,AEBC,AC