lecture 1 命题与联结词.ppt

第一部分数理逻辑,先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。”,请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这又需要经历如下过程：(1)什么是前提？有哪些前提？(2)结论是什么？(3)根据什么进行推理？(4)怎么进行推理？下面的第一章，第二章回答第一个问题。第三章回答第二、三个问题。,下图给出了逻辑部分的知识体系,例1.1判断下列句子是否为命题。(1)4是素数。(2)是无理数。(3)x大于y。(4)月球上有冰。(5)2100年元旦是晴天。(6)大于吗？(7)请不要吸烟！(8)这朵花真美丽啊！(9)我正在说假话。,能判定真假的陈述句称为命题,作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。,任何命题的真值都是唯一的。,判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。,解:本题的(9)个句子中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因而这3个句子都不是命题。剩下的6个句子都是陈述句，但(3)无确定的真值，根据x,y的不同取值情况它可真可假，即无唯一的真值，因而不是命题。若(9)的真值为真，即“我正在说假话”为真，也就是“我正在说真话”，则又推出(9)的真值应为假；反之，若(9)的真值为假，即“我正在说假话”为假，也就是“我正在说假话”，则又推出(9)的真值应为真。于是(9)既不为真又不为假，因此它不是命题。像(9)这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论。凡是悖论都不是命题。本例中，只有(1)，(2)，(4)，(5)是命题。(1)为假命题，(2)为真命题。虽然今天我们不知道(4)，(5)的真值，但它们的真值客观存在，而且是唯一的，将来总会知道(4)的真值，到2100年元旦(5)的真值就真相大白了。,罗素悖论,一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。,例1.2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。全是命题。,定义1.1设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作p，符号称作否定联结词。并规定p为真当且仅当p为假。,定义1.2设p,q为二命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作pq，称作合取联结词。并规定pq为真当且仅当p与q同时为真。,定义1.3设p，q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作pq，称作析取联结词。并规定pq为假当且仅当p与q同时为假。,注意：按定义1.3在析取式pq中，若p，q都为真，则pq为真。“或”还有另外一种用法：当p，q都为真时，析取起来为假。前者称为相容或，后者称为排斥或(排异或)。,例1.3将下列命题符号化。(1)张晓静爱唱歌或爱听音乐。(2)张晓静是江西人或安徽人。(3)张晓静只能挑选202或203房间。解在解题时，先将原子命题符号化。(1)p：张晓静爱唱歌。q：张晓静爱听音乐。显然(1)中“或”为相容或，即p与q可以同时为真，符号化为pq.,(2)r：张晓静是江西人。s：张晓静是安徽人。易知，(2)中“或”应为排斥或，但r与s不能同时为真，因而也可以符号化为rs.(3)t：张晓静挑选202房间。u：张晓静挑选203房间。由题意可知，(3)中“或”应为排斥或。t，u的联合取值情况有四种：同真，同假，一真一假(两种情况)。如果也符号化为tu，张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意。因而不能符号化为tu.如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用多个联结词，符号化为(tu)(tu),定义1.4设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作pq，称作蕴涵联结词。并规定pq为假当且仅当p为真q为假。,注意：在使用联结词时，要特别注意以下几点：1在自然语言里，特别是在数学中，q是p的必要条件有许多不同的叙述方式。例如，“只要p，就q”，“因为p，所以q”，“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”，“除非q，否则非p”等等。以上各种叙述方式表面看来有所不同，但都表达的是q是p的必要条件，因而所用联结词均应符号化为，上述各种叙述方式都应符号化为pq.2在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联系。3在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是前件p为真，后件q也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作为一种规定，当p为假时，无论q是真是假，pq均为真。也就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题pq为假。,定义1.5设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作pq，称作等价联结词。并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。,以上定义了五种最基本、最常用、也是最重要的联结词，将它们组成一个集合，称为一个联结词集。其中为一元联结词，其余的都是二元联结词。,通常用1表示真，用0表示假，复合命题的真假值如表1.1。表1.1基本复合命题的真值,联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序：()，对于同一优先