高数的经济应用PPT课件

,第四节,定积分在经济学上的应用,第六章,一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值,机动目录上页下页返回结束,1.成本函数,总成本=固定成本+可变成本,平均成本(单位成本)=,2.收益函数,3.利润函数,利润=总收益-总成本，即L(Q)=R(Q)-C(Q).,复习,收益=价格销量，即R(Q)=PQ.,机动目录上页下页返回结束,边际的经济意义:当时,x改变一个单位,y改变,4.边际,个单位.,5.常用的边际函数,边际成本；边际收益；边际利润,机动目录上页下页返回结束,在处的边际值为.,.,4,一、已知边际函数求总函数,问题：已知某边际经济函数，求该总经济量.,设某个经济函数u(x)的边际函数为,则有,于是,机动目录上页下页返回结束,.,5,2.已知销售某产品的边际收益为，x为销售量，R(0)=0,则总收益函数为,1.已知生产某产品的边际成本为，x为产量，固定成本为C(0),则总成本函数为,机动目录上页下页返回结束,.,6,3.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量，R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为：L(x)=R(x)-C(x).因此总利润为：,机动目录上页下页返回结束,.,7,例1生产某产品的边际成本函数为,固定成本C(0)=1000,求生产x个产品的总成本函数.,解,例2已知边际收益为,设R(0)=0,求收益函数R(x).,解,机动目录上页下页返回结束,.,8,例3：设某商品的边际收益为,(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；,(2)如果已经销售了100个商品，求再销售,100个商品的总收益和平均收益；,解:(1),总收益函数:,平均收益:,机动目录上页下页返回结束,.,9,解:(2),总收益为:,平均收益:,例3：设某商品的边际收益为,(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；,(2)如果已经销售了100个商品，求再销售,100个商品的总收益和平均收益；,机动目录上页下页返回结束,.,10,例4：已知生产某产品x台的边际成本为,(万元/台)，边际收入为(万元/台).,(1)若不变成本为C(0)=10(万元/台),求总成本函数，,总收入函数和总利润函数；,(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;,解:(1)总成本为,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,.,11,由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是,总收入为,总利润函数为,机动目录上页下页返回结束,.,12,（万元）,(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;,当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;,（万元）,机动目录上页下页返回结束,.,13,由变化率求总量,例5某工厂生产某商品,在时刻t的总产量变化率为(单位/小时).求由t=2到t=4这两小时的总产量.,解,总产量,例6生产某产品的边际成本为,当产量由200增加到300时,需追加成本为多少?,解,追加成本,机动目录上页下页返回结束,.,14,例7在某地区当消费者个人收入为x时,消费支出W(x)的变化率,当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多少?,解,机动目录上页下页返回结束,.,15,设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为,1.单利,假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内,都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.,二、收益流的现值与未来值,机动目录上页下页返回结束,A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和为,An=A0+nA0r=A0(1+nr),这就是单利的本利和计算公式,.,16,第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的,2.复利,这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被,计入下一期的本金.就像常说的“利滚利”.,机动目录上页下页返回结束,这就是一般复利的本利和计算公式.,本利和为A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照,此计算,n年后应得本利和为,AnA0(1r)n,.,17,资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n,则一年后的本利和为,t年后本利和为AtA(1r/n)nt，,若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n时,得t年后本利和为这就是连续复利公式,A1A(1r/n)n，,.,18,因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：（1）已知现值为A0,则t年后的未来值为,（2）已知未来值为At,则贴现值为,期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时,3.连续复利,每刻计算复利的方式称为连续复利.,贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.,机动目录上页下页返回结束,AtAert，,AAte-rt,.,19,我们知道,若以连续复利率r计息,一笔P元人民币从现在起存入银行,t年后的价值(将来值),若t年后得到B元人民币,则现在需要存入银行的金额(现值),下面先介绍收益流和收益流量的概念.,若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流.而收益流对时间的变化率称为收益流量.,4、收益流的现值和将来值,机动目录上页下页返回结束,.,20,收益流量实际上是一种速率,一般用R(t)表示;若时间t以年为单位,收益以元为单位,则收益流量的单位为:元/年.(时间t一般从现在开始计算).若R(t)=b为常数,则称该收益流具有均匀收益流量.,将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值,现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，俗称“本金”,例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元.10500为10000的将来值,而10000为10500的现值.,机动目录上页下页返回结束,.,21,和单笔款项一样,收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和;而收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的本利和,有相同价值.,在讨论连续收益流时,为简单起见,假设以连续复利率r计息.,机动目录上页下页返回结束,.,22,若有一笔收益流的收益流量为R(t)(元/年),下面计算其现值及将来值.,考虑从现在开始(t=0)到T年后这一时间段.利用元素法,在区间0,T内,任取一小区间t,t+dt,在该小区间内将R(t)近似看作常数,则应获得的金额近似等于R(t)dt(元).,从现在(t=0)算起,R(t)dt这一金额是在t年后的将来而获得,因此在t,t+dt内,从而，总现值为,收益的现值,机动目录上页下页返回结束,.,23,在计算将来值时,收入R(t)dt在以后的(Tt)年内获息,故在t,t+dt内,例8假设以年连续复利率r=0.1计息,(1)求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值;,(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系.,从而，将来值为,收益流的将来值,机动目录上页下页返回结束,.,24,(2)显然,若在t=0时刻以现值作为一笔款项存入银行,以年连续复利率r=0.1计息,则20年中这笔单独款项的将来值为,而这正好是上述收益流在20年期间的将来值.,机动目录上页下页返回结束,解(1),.,25,例9某公司投资100万元(总投资的现值已知）建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资30万元（收益流量）,解设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有,即,解得T=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资,机动目录上页下页返回结束,.,26,一般来说,以年连续复利率r计息,则在从现在起到T年后（该收益流的将来值等于将该收益流的现值）作为单笔款项存入银行T年后的将来值.,例10设有一项计划现在(t=0)需要投入1000万元（投入资金的现值）,在10年中每年收益为200万元（收益流量）.若连续利率为5%,求收益资本价值W.(设购置的设备10年后完全失去价值),解,资本价值=收益流的现值投入资金的现值,机动目录上页下页返回结束,.,27,例11某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为10万元,求内部利率(注:内部利率是使收益价值等于成本的利率).,解,由收益流的现值等于成本,得,可用近似计算得,机动目录上页下页返回结