数字信号处理第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计，6.1数字滤波器的基本概念，6.2模拟滤波器的设计，6.3具有脉冲响应不变方法的IIR数字低通滤波器的设计，6.4具有双线性变换的IIR数字低通滤波器的设计，6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计，6.6 IIR数字滤波器的直接设计，6.1数字滤波器的基本概念，1。数字滤波器的分类数字滤波器可以根据已实现的网络结构或单位脉冲响应分为无限脉冲响应滤波器和有限脉冲响应滤波器。它们的系统功能如下：(6.1.1)、(6.1.2)，图6.1.1理想低通、高通、带通和带阻滤波器的幅度特性，2数字滤波器的技术要求我们通常使用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(EJ)用以下公式表示：图6.1.2低通滤波器的技术要求，通带和阻带中允许的衰减一般用分贝数表示，通带中允许的最大衰减用p表示，阻带中允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：(6.1.3)，(6.1.4)，例如|H(ej0)|归一化为1， (6.1.3)和(6.1.4)表示为：(6.1.5)、(6.1.6)和(3)数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法非常不同。 IIR滤波器有两种设计方法，其中一种通常与模拟滤波器设计方法一起使用。设计步骤如下：首先设计一个模拟滤波器，得到一个传输函数Ha(s)，然后按照一定的方法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。6.2模拟滤波器的设计，模拟滤波器的理论和设计方法已经发展得相当成熟，有几种典型的模拟滤波器可供我们选择，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、考尔滤波器、贝塞尔滤波器等。这些过滤器有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计者使用。图6.2.1各种理想滤波器的幅频特性。1.模拟低通滤波器的设计指标和近似方法。模拟低通滤波器的设计指标包括 p、 p、 s和 s，其中 p和 s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p为通带 (=0 p)的最大衰减系数，s为阻带 s的最小衰减系数，p和s一般用分贝数表示。对于单调递减的幅度特性，可以表示为：(6.2.1)，(6.2.2)。如果=0处的振幅已归一化为1，即|Ha(j0)|=1，则p和s表示为上述技术指标，如图6.2.2所示。图中的 c称为3dB截止频率，因为(6.2.3)、(6.2.4)，图6.2.2中低通滤波器的幅度特性，在给出滤波器的技术指标后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位脉冲响应为实数，因此(6.2.5)，2。巴特沃兹低通滤波器的设计方法巴特沃兹低通滤波器的幅度平方函数| ha (j) | 2用下面的公式表示：(6.2.6)，图6.2.3巴特沃兹幅度特性与n的关系，幅度平方函数| ha (j) | 2写成s的函数：(6.2.7)，这个公式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下面的公式表示：(6.2.8)，图6.2.4分布为了形成稳定的滤波器，仅s平面左半平面的n个极点形成Ha(s)，而右半平面的n个极点形成Ha(s)。Ha(s)的表达式是，设N=3，有6个极点，分别取s平面左半平面的s0、S1和S2极点构成Ha(s):由于每个滤波器的幅频特性不同，为了统一设计，所有频率都进行归一化。这里，3dB截止频率 c被归一化，归一化的Ha(s)如公式所示，其中S/ c=J / c设=/ c，称为归一化频率。设p=j，p被称为归一化复变量，因此归一化巴特沃斯的传递函数为(6.2.10)，(6.2.11)，其中pk为归一化极点，由下式表示：将极点表达式(6.2.12)代入表达式(6.2.11)，得到的Ha(p)的分母为p的n阶多项式，由下式表示：(6.2.12)，将= s代入表达式(6.2.6)，然后代入| ha (j由上述公式得到的n可以有小数部分，取大于或等于n的最小整数。关于3dB截止频率 c，如果技术指标中未给出，可根据(6.2.14)或(6.2.15)和(6.2.14):从(6.2.15): (6.2.17)，(6.2.18)获得。综上所述，低通巴特沃兹滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标 p、 p、 s和s，根据(6.2.16)得到滤波器的阶数n。(2)根据等式(6.2.12)，获得归一化极点pk，并且通过将pk代入等式(6.2.11)来获得归一化传递函数Ha(p)。(3) Ha(p)是反规格化的。将p=s/ c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传递函数Ha(s)。表6.2.1巴特沃兹归一化低通滤波器参数，示例6.2.1已知通带截止频率fp=千赫，通带最大衰减p=2分贝，阻带截止频率fs=12千赫，阻带最小衰减s=30分贝，巴特沃兹低通滤波器根据上述技术规范设计。解(1)确定阶n。(2)根据公式(6.2.12)，极点是，根据公式(6.2.11)，归一化的传递函数是，上述公式的分母可以扩展成五阶多项式，或者共轭极点放在一起形成因式分解形式。这里，它不像直接查找表6.2.1那么简单。从N=5，直接查表，我们可以得到：极点：-0.3090j0.9511，-0.8090j 0.5878；-1.0000，公式B0=1.0000，B1=3.2361，B2=5.2361，B3=5.2361，B4=3.2361，(3)为了反规格化Ha(p)，首先计算3dB截止频率 c。根据方程(6.2.17)，得到：将 c代入方程(6.2.18)，得到：将p=s/ c代入Ha(p)，得到：这里我们只介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5显示了当n阶分别为奇数和偶数时切比雪夫I滤波器的幅频特性。振幅的平方函数用A2():(6 . 2 . 19)表示，图6.2.5切比雪夫滤波器的幅频特性，图6.2.7切比雪夫和巴特沃斯的低通A2()曲线。以下描述了切比雪夫I型滤波器的设计步骤。1)确定技术要求 p、 p、 s和 s p为= p时的衰减系数，s为= s时的衰减系数，即(6.2.34)、(6.2.35)，2)求出滤波器阶数n和参数、归一化频率、阶数n，最后取大于或等于n的最小整数，将极点pk代入方程(6.2.33)，得到：(4)反归一化Ha(p)、实际Ha(s)、I在示例6.2.2中，设计了一个低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。解决方案(1)滤波器的技术要求：(2)阶N和:(3)Ha(p):当N=5时的极点pi由公式(6.2.38)计算，并代入上述公式得到：(4) Ha(p)反规格化得到：(4)模拟滤波器的频率转换模拟高通、带通和带阻滤波器的设计是为了防止符号混淆。首先，一些符号规定如下：1)低通到高通频率变换和之间的关系是上公式，即低通到高通频率变换公式。如果低通G(j)和高通H(j)是已知的，则使用以下公式进行转换：(6.2.41)，(6.2.40)，图6.2.9低通和高通滤波器的幅度特性。模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：低通带频率p、高阻带频率s、通带最大衰减p和阻带(2)确定相应低通滤波器的设计指标：根据公式(6.2.40)，转换高通滤波器的边界频率根据等式(6.2.40)，G(p)被转换成归一化高通H(q)。为了进行反规格化，将q=s/ c代入H(q)中，得到示例6.2.3高通滤波器的设计，fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处的最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。(6.2.42)，解决方案高通技术要求：fp=200Hz赫兹，p=3dB；Fs=100Hz赫兹，s=15dB归一化频率，低通技术要求，设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，因此模拟高通h (s): 2低通至带通变频低通和带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。图6.2.10带通滤波器和低通滤波器的幅度特性，表6.2.2和之间的对应关系，由和之间的对应关系获得：对应于u的p由表6 . 2 . 2可知，并代入上述公式，有(6.2.43)，称为低通带通频率转换公式。通过使用以下公式，带通的边界频率被转换成低通的边界频率。从归一化低通到带通的转换公式如下。当(6.2.43)代入上述公式，得到：q=j代入上述公式，得到：反规格化，q=s/B代入上述公式，得到如下：(6.2.44)，(6.2.45)，上述公式是由归一化低通直接转换为带通的计算公式。下面总结了模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率 u、带通下限频率 l、下阻带上限频率 s1、上阻带下限频率 s2、通带中心频率 20= l u。 通带宽度b= u l以及与上述边界频率对应的归一化边界频率如下：(2)确定归一化低通技术要求：s和-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值较小的s，以保证在较大的s下能更好地满足要求。通带的最大衰减仍为p，阻带的最小衰减也为s。(3)设计归一化低通G(p)。 (4) G(p)通过等式(6.2.45)直接转换为带通H(s)。例6.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率 0=2 1000 rad/s，通带最大衰减p=3dB，阻带 S1=2 830 rad/s， S2=2 1200 rad/s，阻带最小衰减s=15dB。解决方案(1)模拟带通的技术要求： 0=2 1000弧度/秒， p=3dB S1=2 830弧度/秒， S2=2 1200弧度/秒，s=15分贝=2 200弧度/秒；0=5，s1=4.15，s2=6，(2)模拟归一化低通技术要求：s=1.833，p=3dB，s=15dB。(3)模拟归一化低通滤波器G(p)的设计：巴特沃斯型，是，取N=3，查表6.2.1得到，(4)计算模拟带通H (S): (3)低通带阻的变频低通带阻滤波器，如图6.2.11所示。图6.2.11低通滤波器和带阻滤波器的幅频特性。图中， l和 u为下通带截止频率和上通带截止频率， S1和 S2为阻带的下限频率和上限频率， 0为阻带中心频率， 20= u l，阻带带宽b= u l，b为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u= u/b， l= l/b， s1= s1/b， s2= s2/b。20=ul，与的对应关系见表6.2.3。根据与的对应关系，我们可以得到：ul=1，p=1，(6.2.46)公式称为低通带阻频率转换公式。将等式(6.2.46)代入p=j并反规格化，上述等式是直接将规格化低通转换为带阻的频率转换公式。(6.2.46)、(6.2.47)、(6.2.48)总结了设计带阻滤波器的以下步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即下通带截止频率 l、上通带截止频率 u、下阻带极限频率 s1、上阻带上限频率 s2、阻带中心频率 20= u l、阻带宽度b= u l及其对应的归一化边界频率 s2= s2/b， 20= u l，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。(2)确定标准化的技术要求解决方案(1)模拟带阻滤波器的技术要求： L=2 905，U=21105；S1=2980，S2=21020；20=lu=421000025，B=ul=2200；l=l/B=4.525，u=u/B=5.525；S1=S1/B=4.9，S2=5.1；20=lu=25(2)归一化低通的技术要求：(3)归一化低通滤波器的设计(G(p):(4)带阻滤波器的高(s)is，6.3具有脉冲响应不变性的IIR数字低通滤波器的设计。为了保证转换后H(z)的稳定性并满足技术要求，对转换关系提出了两个要求：(1)因果稳定模拟滤波器到数字滤波器的转换仍然是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，S平面的虚轴映射Z平面的单位圆，对应的频率线性相关。假设模拟滤波器的传输函数为Ha(s)，对应的单位脉冲响应为ha(t)，假设模拟滤波器Ha(s)只有一个一阶极点，并且假设分母多项式的阶数高于分子多项式的阶数，并且假设Ha(s)表示为部分分数：(6.3.1)，其中si是Ha(s)的一阶极点。Ha(s)通过逆拉普拉斯变换得到ha (t): (6.3.2)，其中u(t)是单位阶跃函数。ha(t)以相等的间隔采样，采样间隔为t，并获得以下结果：(6.3.3)。对上述公式进行z变换，得到数字滤波器的系统函数H (z): (6.3.4)。假设ha(t)的采样信号由ha(t)表示。对进行拉普拉斯变换，获得：其中ha(nT)是采样点t=nT处ha(t)的幅度值，等于序列h(n)的幅度值。也就是说，h(n)=ha(nT)，因此获得：