同济大学微积分第三版课件第二章第九节.ppt

第九节函数单调性与曲线凹凸性的判别法,本节要点,本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函,一、函数单调性的判别法,二、函数的凹凸性的判别法,数的单调性及函数的凹凸性.,一、函数单调性的判别法,问题的提出,设函数如果函数,负,即,如果函数在,在上单调增加,则曲线的图形是一条沿轴正向,逐渐上升的曲线,因而曲,线上各点处的切线斜率非,反之,由导数的定义及极限的保号性,上单调减少,则曲线的图形是一条沿轴正向逐下降的,曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非正,即,由此可见,函数的单调性与其导函数的符号有密切的关,系.,我们可证明:,若可导函数在区间上单调增加（减少）,反之,我们有,定理（函数单调性的判别法）若,若有,且则:,若有,则对任意的,有,则在上,单调增加;,则在上,单调减少.,证仅证.则由拉格朗日中,又因:故,由此说明函数是单调增加的.,值定理,得,例1判定函数,解因,我们知道,函数是,的单调性.,所以,是单调增加的.,单调增加的,但,此说明一个单调增加的函数,其导函数可能有若干个零点.,作为一般结论,我们有,定理若函数在区间上可导,且在,例2设则,所以,函数在任何一个有限区间仅有有限个驻点,由,的任何一个有限区间内仅有有限个零点,则,是单调增加的.,上面的定理知函数是单调增加的.,例3讨论函数,解因所以当,即,的单调性.,是单调减少的;当,增加的.,即函数是单调,可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表,注此例说明了如何去讨论函数的单调性:若函数点,点可导,则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调,区间.但若函数在某些点不可导,则此方法不再适用.,例4求函数,解函数的定义域为并且在区间,当从而将定义域分成三个区间:,当因而函数单调增加;,的单调区间.,内连续.的导数为,当因而函数单调减少;,当因而函数单调增加.,将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:,结合上面的两个例子,我们得到求函数单调区间的一,确定函数的定义域;,求出函数的一阶导函数,并求出函数的驻点及不可,根据驻点和导数不存在的点,划分区间,注意到,般方法:,导点;,导函数在每一个区间内的符号不会改变,从而有确定的,单调性.,应用:证明不等式.,例5证明当时,有,证令,所以函数在区间中是单调增加的,因而,则,当时,有,注从这个例中可以看出,利用单调性证明不等式的,即,基本方法.,问题证明当时有:,方法构造函数,验证从而函数在,由此得到:当时,有,在中连续,可导;,且函数,给定的区间上单调增加;,即,例6证明,证令,所以,所以在上单调增加,从而,且,由此即得,二、函数的凹凸性及判别法,在上节中,我们引入了函数的单调性和相应的判别法.,但是曲线弧在上升或下降的过程,函数的单调性在几何上反应的是曲线弧的上升或下降.,还存在一个方向性的问题.它,直接影响了曲线的上升或下降,的速度问题.,右图则反应了该问题.,这样的问题即称为曲线的凹凸性.,我们引入下面的定义.,定义设函数在区间中连续,如果对任意的,则称函数的图形是是（下凸）凹的（或凹弧）,都有,都有,如果对任意的,则称函数的图形在区间是（向上）凸的（或凸,弧）.,见下图,凹弧,凸弧,凹凸性,则称点,如果函数的图形在经过点时改变了,的一个拐,点.,是曲线,曲线凹凸性判别法,设且导函数在,内单调增加（减少）,那么曲线在内是凹（凸）,证（单击）,的.,即有如下的:,更进一步地,如果函数在区间有二阶导数,则,定理如果则曲线在内是凹,的;如果则曲线在区间内是,我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性.,凸的.,例7对函数因由判别法知函,数在定义域内是凸函数;再对函数,因知函数在定义域内是凹函数.,例8设函数,解当时,当时而当时,二阶导数不存,求曲线的凹凸区间.,在,从而将函数的定义域划分成三个区间:,将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下:,当,当,当,从而点是曲线的拐点,而不是曲线,函数的图形如下图所示.,曲线是凸弧;,的拐点.,曲线是凸弧;,曲线是凹弧;,图形经过下列点:,利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式。,例9设是任意两个正数,证明不等式,并且不等式成为