现代控制理论-第1章.ppt

1.1状态变量和状态空间表达式，1.3状态变量和状态空间表达式的建立(1)，1.2状态变量和状态空间表达式的仿真结构图，1.5状态向量的线性变换(坐标变换)，1.4状态变量和状态空间表达式的建立(2)，1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式，1.6从状态空间表达式计算传递函数数组，1.7状态空间表达式，1.1状态变量和状态空间表达式， 1.1.1离散时间系统的状态变量和状态变量是一组足以完全确定系统运动状态的变量，且数量最小。 当时间t=t0时的值已知时，在给定时间tt0的输入下，可以完全确定系统在任何时间tt0时的行为。1.1.2如果状态向量由向量表示并被视为向量的组成部分，则称为状态向量。注：状态变量的数量是唯一的，但选择不是唯一的(它们应该相互独立)；(2)状态变量的数量=微分方程的阶数=储能元件的数量。1.1.3状态空间，用状态变量作为维度空间的坐标轴，称为状态空间。(初始点和状态轨迹的概念)，1.1.4状态方程。由系统状态变量组成的一阶微分方程系统称为系统状态方程。利用图中所示的网络，解释如何用状态变量描述这个系统。图1，根据电学原理，很容易写出两个包含状态变量的一阶微分方程：方程(1)是图1.1系统的状态方程，其中如果状态变量用一般符号表示，即如果它们以矢量矩阵形式写出，则状态方程变成：或，1.1.5输出方程。在指定系统输出的条件下，输出与状态变量之间的函数关系称为系统输出方程。例如，在图1.1的系统中，用符号作为输出，输出一般用y表示，则有：方程(3)是图1.1的系统的输出方程，其矩阵表达式为：在方程中，1.1.6状态空间表达式、综合状态方程和输出方程构成描述系统完全动态的状态空间表达式，即状态空间表达式为：注意：在同一系统中，状态变量选择不同，状态方程也不同。在经典控制理论中，系统的动态过程用一个指定某一输出的高阶微分方程来描述。对于图1所示的系统，从方程(1)中去掉中间变量I，得到二阶微分方程：其相应的传递函数为：(6)，(5)。回到方程(5)或方程(6)的二阶系统，如果两个状态变量的和被重新选择，那么一阶微分方程是：(7)。关于状态变量的选择：理论上，它不要求是物理可测量的；在工程中，选择易于测量的量是明智的，因为有时需要反馈状态变量。(1)独立性：状态变量之间的线性独立性。(2)多样性：状态变量的选择不是唯一的；事实上，有无限多的方案。(3)等价性：两个状态向量之间只有一个非奇异线性变换。(4)现实性：状态变量通常被视为具有明确含义的物理量。(5)抽象：状态变量可能没有直观的物理意义。对于单输入单输出稳态系统，如果状态变量为，则状态方程的一般形式为：输出方程的形式如下：用向量矩阵表示的状态空间表达式为：(9)，状态空间表达式的基本形式为：因此，多输入多输出系统状态空间表达式的向量矩阵形式为：其中x和a是同一个单输入系统，分别为n维状态向量和nn系统矩阵；(10)为了简单起见，除了下面的特殊陈述，在输出方程中不考虑输入向量的直接传递，即D=0。注意：向量是小写的，矩阵是大写的。1.2、状态变量和状态空间表达式的模拟结构图。状态空间表达式的框图可以如下绘制：积分器的数量应该等于状态变量的数量，并且它们应该对于一阶标量微分方程：其仿真结构如下图所示。以三阶微分方程为例：在方程的左边保留最高阶导数，上面的公式可以改写成。其仿真结构如下图所示。类似地，给定状态空间表达式，也可以绘制相应的仿真结构。下图是以下三阶系统的仿真结构。试画以下两输入两输出二阶系统仿真结构图。1.3建立状态变量和状态空间表达式(1)。这个表达式一般可以从三个方面获得：首先，它是由系统框图建立的，即根据系统中各个环节的实际联系，写出相应的状态空间表达式；第二种是从系统的物理或化学机制中推导出来的。第三种是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数演化而来。1.3.1从系统框图开始，建立状态空间表达式。该方法首先将系统的各个环节转换成相应的模拟结构图，并选择每个积分器的输出作为输入对应的状态变量。然后，从模拟图中直接写出系统的状态方程和输出方程。系统的状态空间表达式为：对于带有零点的环节，可将其展开为部分分数，即绘制仿真结构图，得到系统的状态空间表达式。基于系统的机理，建立了状态空间表达式，并根据能量特性将常见的控制系统分为电气、机械、机电、气动、液压、热力等系统。根据其物理定律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等。可以建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。自学P19示例1-2，1.4状态变量和状态空间表达式的建立(2)。考虑一个单变量线性常系统，其运动方程是一阶线性常系数微分方程：相应的传递函数是在1.4.1传递函数没有零点时的实现。在这种情况下，系统的微分方程为：相应的系统传递函数是上述公式的实现，它可以有多种结构，常用的简单形式可以从相应的仿真结构图(如下)中导出。从中间变量到输入端的负反馈是一种常见的结构形式，也是最容易获得的结构形式。图中每个积分器的输出被视为一个状态变量，有时称为相位变量，它是输出各阶的导数。对于每个积分器的输入，显然是每个状态变量的导数。从图(a)中可以很容易地列出系统的状态方程：输出方程为：以矩阵形式表示，或者：顺便说一下，当矩阵在公式上有矩阵形式时，称为伴随矩阵，伴随矩阵的特征是主对角线以上的元素都是1；最后一行中的元素可以取任何值；而其余的元素都是零。在这种情况下，系统的微分方程为：相应地，系统传递函数为：并且要实现的系统传递函数为：因为当传递函数中存在零点时，上述方程可以被转换为(26)和1.4.2，那么上述方程的逆拉普拉斯变换可以被获得：或者表示为：扩展到阶系统，方程(26)的实现可以是：每个积分器的输出是状态变量， 并且可以获得系统的状态空表达式：(28)，另一种实现形式：假设要实现的系统传递函数仍然是：等价变换，并且发现其对应的传递函数是：(29)，(29)，等价，(26)。 为了发现等式(29)等于等式(26)，还可以通过比较多项式系数将等式(30)写成等式(31)的形式，以便于记忆。(31)，扩展到订单系统，其状态空间表达式为：上图a中每个积分器的输出被选择为该结构中的状态空间表达式，如图：(33)，其中，(34)，或标记为：1.4.3 i现在，我们用模拟结构图的方法来解决这个问题，根据高阶导数项：积分每个方程：所以我们得到模拟结构图，如下图所示：把每个积分器的输出作为一个状态变量，如上图所示。等式(35)的一个实现是：(36)、1.5状态向量的线性变换(坐标变换)，以及1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性。对于给定的常数系统，可以选择许多状态变量，相应地，许多状态空间表达式描述同一系统，也就是说，系统可以有许多结构形式。所选的状态向量实际上是向量的线性变换(或坐标变换)。给定系统为-(37)，我们总能找到任何非奇异矩阵对原始状态向量进行线性变换，得到另一个状态向量，变换关系为：即代入方程(37)得到一个新的状态空间表达式：(38)，系统特征值是系统矩阵特征值的根，即特征值方程：(43)。方阵a有n个特征值；在实际的物理系统中，它是一个实数矩阵，所以特征值要么是实数，要么是共轭复数对。如果它是实对称方阵，它的特征值都是实数。1.5.2系统特征值的不变性和系统的不变性，1。系统特征值，系统，2。系统不变量和特征值的不变性。经过非奇异变换，得到相同的系统：虽然方程(43)和(44)的形式不同，但它们实际上是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：虽然表达式(43)和(44)的形式不同，但它们实际上是相等的，即系统非奇异变换的特征值是常数。可以证明如下：如果特征方程以多项式形式写成，由于特征值都是由特征多项式的系数唯一确定的，并且特征值通过非奇异变换是不变的，那么这些系统也是不变量。因此，特征多项式的系数被称为系统的不变量。一个维向量，在作为变换矩阵变换后，得到一个新的向量，也就是说，如果该向量在线性变换后具有相同的方向，并且只是在长度上变化了几倍，则称之为相应的特征向量。此时，3 .特征向量和1.5.3状态空间表达式被转换成Jordan标准形式。若当标准形矩阵的特征值可以根据系统矩阵来计算。如果系统的Jordan标准形式矩阵没有多个根并且有多个根，则必须计算变换矩阵T，以便获得变换的控制矩阵和输出矩阵CT。下面，根据数组A的形式和多重根的有无，分别介绍几种求T的方法。(1)矩阵是任意的，(1)如果矩阵的特征值没有重根，将其设置为不同的特征值并求出A。变换矩阵的特征向量由A的特征向量组成，即(1)当A的特征值没有重根时，变换是范德蒙德矩阵，即(2)当A的特征值有重根时，以一些三重根为例。当A的矩阵是标准的，即(3)当有共轭复数根时，以四阶系统中的一对共轭复数根为例，即3。系统的并行实现，此时，系统的传递函数是已知的：(55)，并且公式(55)被展开成部分分数。因为系统的特征根有两种情况：一种是所有的根彼此不同，另一种是有多个根。1.6，从状态空间表达式中找出传递函数矩阵，1.6.1传递函数(数组)，1.1单输入单输出系统，已知系统状态空间表达式：其中，为维状态向量；总和是输出和输入，它们是标量。a是一个方阵；对于数组；c是行数组；d是标量，通常为零。(62)，拉普拉斯变换被应用于等式(62)，并且假设初始条件为零，则存在：(63)，因此U-X之间的传递函数是：(64)，这是的阵列函数。之间的传递函数是：它是标量。(66)，其中为r1输入列向量；输出m1的列向量；b是nr控制矩阵；c是mn输出垫因此，之间的传递函数是：它是一个mr矩阵函数，即，(69)，其中每个元素是一个标量函数，它表示第一个输入和第二个输出之间的传递关系。当时，这意味着不同标签的插入和输出是相互关联的，这被称为耦合关系。这是多变量系统的特点。方程(69)也可以表示为：可以看出，的分母是系统矩阵A的特征多项式，而的分子是多项式矩阵。需要指出的是，虽然同一个系统的状态空间表达式不是唯一的，而是可以进行各种非奇异变换，但其传递函数矩阵是不变的。对于诸如方程(66)的已知系统，传递函数矩阵是方程(69)。作为坐标变换，如果系统的状态空间表达式为：(71)，则上述表达式对应的传递函数矩阵应为：即同一系统的传递函数矩阵是唯一的。1.6.2传递函数矩阵中的子系统，在各种连接中，实际的控制系统，往往是由多个子系统组成，或并联，或串联，或形成反馈连接。以两个子系统为例，导出了等效传递函数矩阵。让系统1为-(72)而系统2为：让系统2为：让系统2为：让系统2为：让系统2为：让系统1并联。所谓的并联意味着组合系统的输出是相同输入下每个子系统输出的代数和。结构图如下图所示。根据方程(72)和(73)，并考虑到系统的状态空间表达式，系统的传递函数矩阵为：所以当子系统并联时，系统的传递函数矩阵等于子系统的传递函数矩阵的代数和。2。串联，如下图所示。读者可以自己证明串联的传递函数矩阵是：即当子系统串联时，系统传递函数矩阵等于子系统传递函数矩阵的乘积。然而，应当注意，传递函数矩阵的乘法顺序不能颠倒。如下图所示，具有输出反馈的系统可以从图中得到，即系统的传递函数矩阵为：并且在这里遇到块反转问题，假设：因此，由此得到：从上述两个解中，即，因此，同样可以得到：1.7离散时间系统的状态空间表达式，连续时间系统的状态空间方法完全适用于离散时间系统。类似地，在连续系统中，状态空间表达式由微分方程或传递函数建立，这称为系统实现。在离散系统中，从差分方程或脉冲传递函数获得离散状态空间表达式也是一种实现。任务是确定状态空间表达式：(79)。在认为两个相邻采样时间不变的情况下，公式(79)的状态空间表达式也可以用模拟结构图(如下)表示。下图中的t代表单位延迟，类似于连续系统中的积分器。实现不是唯一的，更简单的实现如下图所示的仿真结构图所示。该图显示了已知参数和待定常数。将每个延时器的输出作为一个状态变量，可以得到向量矩阵形式的离散状态空间表达式为：公式中的计算方法类似于1.4节公式(34)中的计算公式，即：多变量离散状态空间表达式为：本章主要内容： 状态空间表达式的概念和形式状态空间表达式与模拟结构图之间的相互转换建立简单电路系统的状态空间表达式系统的状态向量的线性转换是根据系统高阶微分方程或传递函数和系统的不变量建立的传递函数离散时间系统的状态空间表达式当传递函数(阵列)系统并联时， 级数和反馈是从状态空间表达式获得的，运算：1-2，状态空间表达式为1-5，1-7，1-10，1.8时变系统和非线性系统，以及1.8.1线性时变系统。 上面的讨论只是针对一个常数系统，1.8.2非线性系统，非线性动态特性用下列n个一阶微分方程来描述