第22章-自回归条件异方差模型

1陈强，高级计量经济学及 Stata 应用课件，第二版，2014，高等教育出版社。第22章自回归条件异方差模型第22章自回归条件异方差模型22.1条件异方差模型的例子恩格尔(1982)指出，在时间序列数据中也有一种特殊的异方差，即“自回归条件异方差(ARCH)”。Bollerslev (1986)推广了ARCH，并将其称为“广义ARCH”，并对GARCH做了简要说明。2.考察1953年至1990年道琼斯指数日收益率的波动情况。图22.1 1953-1990年美国道琼斯指数日收益率3从图22.1可以看出，方差大的观察值似乎聚集在一起，而方差小的观察值也似乎聚集在一起，这就是所谓的“波动聚类”。以前，由于缺乏更好的测量，通常假设时间序列的方差是常数。由于ARCH模型考虑了方差的波动性，因此能够更好地预测方差，在金融领域具有重要的应用价值。22.2 ARCH模型的属性模型的属性考虑线性回归模型：TTTyx 扰动项T的条件方差是21 VaR (|，)TTT，它可以随时间变化。受波动聚类的启发，假设22 011 TT是“ARCH(1)扰动项”。更一般地说，假设222 011 ttptp是“ARCH(p)扰动项。“以ARCH(1)为例来考察ARCH摄动项的性质。5假设扰动项t的生成过程是2011 tttv，其中t v是白噪声，方差被归一化为1，即2var () e () 1tvv。假设t v和t相互独立，0 0，1 01(为了确保2 t为正，t为平稳过程)。6由于t v和t相互独立，t的条件预计为2 10111 2 01110 e (|) e () e0tttttttvv。同样，根据t v和t的独立性，t的无条件预期为22 0110110110e () ee () e0tttvv7。t的条件方差是222 110111 1 22 0111011 var(|)e(|)e(|)e(|)e(|)TTtttTV这是ARCH(1)“22 011 TT”的定义。研究了t的无条件方差：222 011 222 0110110111 var()e()e()e()e()e()t tttv V8对差分方程“22 011e () e () tt”有一个稳定的解。假设221 e(e)(TT)产生210 e(1t)，那么ARCH扰动项的无条件平方差是常数。检验t和(0)t I I I:220110122011010 e(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e虽然t有条件异方差，但它是白噪声！然而，OLS忽略了条件异方差的重要信息，可以找到一个更好的非线性估计量，即极大似然估计。10 22.3 ARCH模型的最大似然估计对于ARCH(1)，为了确保条件方差22 011 TT始终为非负，参数01必须限制为正。如果0 0或1 0，可能会出现“20 t”情况，见图22.2。此外，11是为了确保t是一个稳定的过程。如果1是1，var () t将随时间增加，这不是一个平稳的过程。图22.2 ARCH(1)参数的正约束12假设样本大小为t。在ARCH(1)模型中，t不是iid，因为相邻的扰动项通过公式“2011TTTv”关联。由于t只依赖于1t而不依赖于23，TT，12，t的联合密度函数可以分解为：121213211 121321(，)() ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()，()()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，(， ()()()()()()()()()()(|) tttttfffffff因为无条件密度函数1 () f不容易计算，考虑给定的条件最大似然估计1)。 13假设2 0，ttn，而22 011 TT，可用似然函数：22 2 2011 011 1 exp 2()2()t TT t l 2 011 2 22 011 111 lnln 2 ln()222 ttttttttt TL将“tty xx”代入上述公式，lnL成为参数0101(，)的函数。在ARCH模型的最大似然估计中，原始方程(TTT YX )和条件平方差分方程(22 011 TT)被同时估计。14如果要估计ARCH(p)，则12、P(即第一个P观测值)被认为是给定的，然后使用条件MLE。即使扰动项不服从正态分布，它仍可能与QMLE一致。22.4 GARCH模型在ARCH(p)模型中，如果P非常大，则必须估计许多参数，并且必须损失样本量。Bollerslev (1986)提出GARCH来减少要估计的参数，并使条件方差的预测更精确。在ARCH模型的基础上，增加了2 t的自回归部分。GARCH (P，Q)模型设置为22222 01111 TTQTQTQTPTP，其中P是2t的自回归阶，Q是2t的滞后阶。在Stata中，2ti被称为“ARCH项目”，2ti被称为“GARCH项目”。假设扰动项t的产生过程为2222 01111 tttqtqtpv，其中t v为白噪声。16最常见的GARCH (1，1): 222 01111 TTT，其中，为了确保2 T为阳性，011为阳性。GARCH(1，1)扰动项的产生过程是方程两边的平方。取(无条件)预期的17 2222 01111 1 2222 01111112 22 011112 22 01111 2 0111 e(e)(e)(e)(e)(e(|)(e)(e(|)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e为什么GARCH模型可以保存待估计的参数？因为21T已经包含2221，Ttp信息。最大似然估计也可用于GARCH模型。18 22.5何时使用初步方法，何时使用ARCH或GARCH模型绘制时间序列图，看是否存在“波动集聚”。严格的统计检验包括以下三种方法。方法一：首先，用OLS估计原始方程tty xx，得到残差序列te。其次，用OLS估计辅助回归，检验了222 011 TTP检验EEE误差和原始假设“012 333 600 P H”(无条件异方差)。恩格尔(1982)提出了长征测试。检验统计量是22(dtrp)，其中t是样本量，2 R是辅助回归的绝对系数。19方法2可以对残差平方序列2t e进行q检验，以检验其序列相关性。如果2t e具有自相关性，则认为t具有条件异方差性。方法3最直接的方法是在估计ARCH或g ARCH模型后，看条件方差方程中的系数(即所有和)是否显著。22.6 ARCH模型1的ARCH和扩展。ARCH-M金融理论认为，金融资产的风险越高，其预期收益率应该越高。超出正常预期收益率的部分称为“风险溢价”。20 Engle，Lilien and Robins (1987)提出了“ARCH-in-Mean模型”(缩写为ARCH-M)，假设金融资产的超额收益率满足以下等式：2风险溢价TTt y，其中Tt y是“超额收益率”，即超过无风险国库券收益率的部分；t对超额收益率有不可预测的影响。2 () t是风险溢价，它是条件方差2 t的递增函数，即0。假设t服从ARCH(p)过程，222 011 ttptp。最大似然估计可用于同时估计原始方程和条件方差方程。21 2.Tarch的“坏消息”对资产价格波动的影响可能大于好消息。Glosten，jaganathan和runkle (1993)提出了一个不对称的“门限GARCH”模型(threshold GARCH，缩写为TARCH)。假设条件方差方程为2222 01111111(0)tttttttartch1 stata称“211 (0) tt1”为TARCH项。Egach标准的GARCH模型对参数值有一定的限制，给最大似然估计带来不便。考虑以下对数形式的条件方差方程：22011111111 _ lnlninttttttttegarch earchaarch，其中11tt是1t的归一化，表示不对称效应。11tt表示对称效应，Stata称为“ear _ a”(a表示“绝对值”，即绝对值)。Stata调用2 lt“e GARCH”项目。无论2lnt取什么值，都有22expln0tt，因此对所有参数没有限制。因为2t是指数的形式，所以它被称为“指数型EGARCH”。4.带ARMA的GARCH考虑以下线性回归模型：TTTyux，其中扰动项t u是ARMA(p，q)过程：11PQTITIJTIJUU24，其中T是GARCH