旋转题型训练.doc

旋转题型训练基本模型构建常见模型思考上图中，AEB旋转到AED的位置，可得AEE为 等腰 三角形。如果四边形ABCD是矩形或正方形，则AEE为 等腰直角 三角形上图中，ABC旋转到ADE的位置，可以得到EAC= DAB ，如果B=60，所以ADB为 等边 三角形 探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换例1：如图1，ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，点B在线段AE上，点C在线段AD上（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ；（2）如图2，将图1中的ABC绕点A顺时针旋转角（0360），（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；当AC=12ED时，探究在ABC旋转的过程中，是否存在这样的角，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角的度数；若不存在，请说明理由【答案】（1）ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，AB=AC，AE=AD，AEAB=ADAC，BE=CD；（2）成立，理由如下：ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得BAE=CAD，在BAE与CAD中，AB=AC，BAE=CAD，AE=AD，BAECAD（SAS），BE=CD；存在，=45以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，ABC=ADC=45，AC=12ED，CAD=45，角的度数是45例2：如图 1，两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30 操作发现：如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时， 填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 ；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，请猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 拓展探究已知ABC=60，BD 平分ABC，BD=CD，BE=6，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4）若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请求相应的 BF 的长【答案】（1）如图2中，由旋转可知：CA=CD，ACB=90，B=30，CAD=60，ADC是等边三角形，DCA=60，ECD=90，DEC=30，CDE=60，EDC=DCA，DEAC，AB=2AC，AD=AC， AD=BD，SBDC=SADC，DEAC，SADC=SACE，S1=S2故答案为：DEAC，S1=S2（2）如图3中，分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=180-90=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中， ACNDCM（AAS），AN=DM，SBDC=SAEC（3）如图，过点D作DFBE， DEAB，DFBE四边形BEDF是平行四边形BD平分ABC，ABC=60，DEAB，ABD=DBE=BDE=30，ED=EB平行四边形BEDF是菱形所以BE=DF，且BE、DF上的高相等，此时=SBDE；过点D作DFBD，ABC=60，F1DBE，FFD=ABC=60，BF=DF，F1BD=ABC=30，FDB=90，FD F=60，DF F是等边三角形，DF=D F，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF=180-BCD=180-30=150，CD F=360-150-60=150，CDFCD F，在CDF和CD F中， CDFCD F（SAS），SDCF=SBDE，点F也是所求的点，BE=6，BF=BE=DF=F F=6，B F=12，综上，BF的长为6或12变式1：如图1，一副直角三角板和，将和放置如图2的位置，点、在同一直线上。（1）如图3，固定不动，绕点逆时针旋转时，判断与的位置关系，并说明理由。（2）在图2的位置上，绕点逆时针旋转，在旋转过程中，两个三角形的边是否存在垂直关系？若存在直接写出旋转的角度，并写出哪两边垂直，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）.理由如下：，.（2）如图 ，当=45时，ACB+FDC=90，B+EDB=90;DFAC，DEAB;如图，当=75时，FGC+F=ACB+,FGC=90EFAC;如图，当=90时，DFBC;如图，当=135时，B+BDF=90,DEAC，DFAB.变式2：如图1所示，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使，将一块透明的三角尺的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，边ON在直线AB的下方.（1）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至如图2所示的位置，使边OM在的内部，且恰好平分，求的度数.（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角，则t的值为_（直接写出结果）.（3）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至如图3所示的位置，使ON在的内部，请探究与之间的关系，并说明理由.【详解】解：（1）BOC+AOC=180，AOC=60，BOC=120，OM恰好平分BOC，MOC=60，MON=90，CON=90+MOC=150；（2）AOC=60，如左图，延长NO，当直线ON恰好平分锐角AOC，AOD=COD=30，即逆时针旋转60时NO延长线平分AOC，由题意得，10t=60，t=6；如右图，当NO平分AOC，AON=30，即逆时针旋转240时NO平分AOC，10t=240，t=24，t的值为6秒或24秒；（3）MON=90，AOM=90-AON，NOC=60-AON，AOM-NOC=（90-AON）-（60-AON）=30，AOM与NOC之间的数量关系为：AOM-NOC=30故答案为：（1）150；（2）t的值为6秒或24秒；（3）AOM-NOC=30，理由见解析变式3：如图1，在RtABC中，ACB=90，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作RtECD，ECD=90，连接BE，AD（1）若CA=CB，CE=CD猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；现将图1中的RtECD绕着点C顺时针旋转锐角，得到图2，请判断中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，RtECD绕着点C顺时针转锐角，如图3，连接BD，AE，计算BD2+AE2的值【答案】（1）解：BE=AD，BEAD BE=AD，BEAD仍然成立证明：（1）设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1ACB=ECD=90， ACD=BCE AC=BC CD=CE ACDBCE AD=BE CAD=CBF BFC=AFG BFC+CBE=90 AFG+CAD=90 AGF=90 BEAD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2ACB=ECD=90， ACD=BCE AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ACDBCECAD=CBE BFC=AFG BFC+CBE=90 AFG+CAD=90 AGF=90 BEAD AGE=BGD=90AE2=AG2+EG2，BD2=BG2+DG2BD2+AE2=AG2+EG2+BG2+DG2AG2+BG2=AB2，EG2+DG2=ED2，BD2+AE2=AB2+ED2=CA2+CB2+CD2+CE2=125 探究点二：以四边形为基础的图形的旋转变换例1：如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当ABC绕点A逆时针旋转(090)时，如图，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图，延长DB交CF于点H；（i）求证：BDCF；（ii）当AB=2，AD=3+1时，则线段FC的长为_【答案】解：（l）BDCF成立；理由如下：由旋转得：ABAC，CAFBAD，ADAF，在ABD和ACF中，AD=AFBADCAFAB=AC，ABDACF（SAS），BDCF；（2）（i）证明：由（1）得，ABDACF，HFNADN，HNFAND，ANDADN90，HFNHNF90，NHF90，HDHF，即BDCF；（ii）解：四边形ADEF是正方形，AFAD31，DAF90，ADAF，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，ABC45，BC2AB2，由旋转的性质得：BAD45ABC，BCAD，BCAF，APBPCP12BC1，PFAFAP3，FCPF2+PC2=(3)2+12=2.例2：如图，在矩形ABCD中，AB8，AD6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N求证：MAMC；求MN的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求BEG的面积【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB/CD，DCA=BAC，由旋转的性质得：FAE=BAC，DCA=FAE，MA=MC；解：设MA=MC=x，则DM=8-x，在RtADM中，62+(8-x)2=x2，解得：x=254，在RtAEF中，AF=AE2+EF2=82+62=10，MF=AF-AM=154，AEF=CEN=90，MCA+CNE=MAC+AEF=90，又MCA=MAC，AFE=CNE=MNF，MN=MF=154；（2）解：分情况讨论：如图2所示：过点B作BHAE于H，则GAP=BHP=90，在HBP和AGP中，GAP=BHPAPG=HPAGP=BP，HBPAGP(AAS)，AP=HP，BH=AG=6，在RtABH中，AH=AB2-BH2=82-62=27，AP=12AH=7，PE=AE-AP=8-7，BEG的面积=2GPE的面积=2126(8-7)=48-67；如图3所示：同得：AH=27，AP=7，PE=8+7，BEG的面积=2GPE的面积=2126(8+7)=48+67；综上所述，BEG的面积为48-67或48+67例3：（1）如图，正方形ABCD，点E、点F分别在AB和AD上，且AE=AF此时，线段BE、DF的数量关系是 ，位置关系是 请直接写出结论(2)如图,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当090时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。(3)如图,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当90180时，连接BD、DE、EF、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?请直接写出结论.【答案】(1)在正方形ABCD中，AB=AD，A=90，AE=AF，ABAE=ADAF，即BE=DF，A=90，BEDF，故BE=DF，BEDF；(2)FAE是等腰直角三角形，AE=AF，在正方形ABCD中，AB=AD，又BAE=DAF=，在ABE和ADF中， ，ABEADF(SAS)，BE=DF，ABE=ADF，延长DF交BE于O，ADF+1=90，1=2(对顶角相等)，ABE+2=90，BOD=18090=90，BEDF，故BE=DF，BEDF；(3)连接BE、DF，与(2)同理求出BE=DF，BEDF，故顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形.变式1：（1）如图1，锐角ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边ABE和等边ACD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，ABC中，ABC=45，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD，连接BD，求BD的长（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角ACD，求BD的长【答案】（1）BD =CE 理由：ABE和ACD都是等边三角形，BAE=CAD=60，AE=AB，AC=AD，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD， EACBAD (SAS) ，BD=CE（2）如图，连接EC、EB 在正方形ABNE和正方形ACMD中，AE=AB ，BAE=，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，EACBAD (SAS) ，BD=CEAE=AB=5，BE=， ABE=AEB=45又ABC=45，ABC+ABE=45+45=90， EC=，BD=CE= (cm) (3)如图，在线段AC的右侧过点A作AEAB于A，交BC的延长线于点E， BAE=90，又ABC=45，E=ABC=45，AE=AB=5，BE=又ACD=ADC=45 ，BAE= DAC=90， BAEBAC=DACBAC，即EAC=BAD，EACBAD (SAS) ， BD=CEBC=3，BD=CE=(-3)(cm) 答：BD长是(-3)cm 变式2：在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证且将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明【答案】解：，延长交延长线于，连，四边形是矩形，由图可知，平分，又，为等腰直角三角形，又，在与中，即， 探究点三：旋转与坐标系结合例1：在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F（1）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H求证ADBAOB；求点H的坐标（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）D（1，3）；（2）详见解析；H（，3）；（3）S（1）如图中，A（5，0），B（0，3），OA=5，OB=3，四边形AOBC是矩形，AC=OB=3，OA=BC=5，OBC=C=90，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，AD=AO=5，在RtADC中，CD=4，BD=BC-CD=1，D（1，3）（2）如图中，由四边形ADEF是矩形，得到ADE=90，点D在线段BE上，ADB=90，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，AOB=90，RtADBRtAOB（HL）如图中，由ADBAOB，得到BAD=BAO，又在矩形AOBC中，OABC，CBA=OAB，BAD=CBA，BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAHC中，AH2=HC2+AC2，m2=32+（5-m）2，m=，BH=，H（，3）（3）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，最小值=DEDK=3（5-）=，当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，最大面积=DEKD=3（5+）=综上所述，S例2：已知ABC三边长a=b=62，c=12（1）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接出点B，C的坐标（2）如图2，过点C作MCN=45交AB于点M，N，请证明AM2+BN2=MN2；（3）如图3，当点M，N分布在点B异侧时，则（3）中的结论还成立吗？【答案】（1）a=b=62，c=12，a2+b2=（62）2+（62）2=144=c2，ABC是直角三角形，又a=b，ABC是等腰直角三角形；AB=c=12，点B（12，0），如图1，过点C作CDx轴于D，则AD=CD=12AB=1212=6，点C的坐标为（6，6）；（2）如图，把ACM绕点C逆时针旋转90得到BCM，连接MN，由旋转的性质得，AM=BM、CM=CM、CAM=CBM=45，ACM=BCM，MBN=ABC+CBN=45+45=90，MCN=45，MCN=BCN+BCM=BCN+ACM=90MCN=9045=45，MCN=MCN，在MCN和MCN中，CM=CMMCN=MCNCN=CN，MCNMCN（SAS），MN=MN， 在RtMNB中，BM2+BN2=MN2，A