三角函数的概念及性质

一、球与正方体的切与接 命题1 棱长为a的正方体的内切球、棱切球、外接球的半径依次为r1，r2，r3，则r1= a r2= a r3= a 正方体的内切球、棱切球是与正方体的六个面、十二条棱都相切的球，外接球是过正方体的八个顶点的球，它们是同一个正方体的球心相同的球。如图1所示，过正方体的对角面可作含各球基本量的截面图，不难发现，三类球的直径依次增大，分别是正方体的棱长，面对角线长，体对角线长，从而得r1= a， r2= a， r3= a。 题1 （2006年，福建）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于（ ） 题2 （2007年，湖南）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球截得的线段长为（ ） 解析：根据命题1，球O的半径为 ，如图2所示，作过E、F、O的球的截面图，直线EF分别交圆O于M、N两点，过O作OHEF于点H，则OH= ，H是MN的中点，连结OM，由勾股定理易得MH= ，故MN=2MH= ，故选D。 二、球与正四面体的切与接 命题2 棱长为a的正四面体的内切球、棱切球、外接球的半径依次为r1、r2、r3，则r1= a r2= a r3= a 正四面体的内切球、棱切球是指与正四面体的四个面、六条棱都相切的球，外接球是指过正四面体的四个顶点的球。同一个正四面体的三类球的球心相同。如图3所示，过正四面体的任一条棱AB及对棱的中点E作一截面，可得包含各球基本量的截面图，不难得出r1= a，r2= a，r3= a。 另：如果把正四面体补成一个正方体，如图4所示，那么正四面体的棱切球也是正方体的内切球，正四面体的外接球也是正方体的外接球。 题3 （2006年，山东）在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，如图5所示，则三棱锥P-DEC的外接球的体积为（ ） 解析：根据题意，三棱锥P-DEC是棱长为1的正四面体，则外接球半径为 ，故V= ，选C。 题4 （2007年，安徽）半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点，则A、B两点的球面距离为（ ）。 A、arcos(- ) B、arcos(- ) C、arcos(- ) D、arcos(- ) 解析：根据命题2，正四面体的棱长为 ，设球心为O，则在AOB中由余弦定理cosAOB=- ，即AOB=arcos(- )，所以，A、B的球面距离为arcos(- )，选C。 三、球与直角四面体的切与接 命题3 共点的互相垂直的三条棱长分别为a、b、c的直角四面体的外接球半径r1= ，内切球半径r2= = ，其中V为体积，S为表面积。 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫直角四面体，如图6所示，四面体S-ABC中，SASBSC，则称为直角四面体。将其补成一个长方体，则其外接球就是长方体的外接球，对角线长即为球的直径。将内切球的球心与各顶点相连，可将直角四面体分割成四个以内切球半径为高的小棱锥，由锥体的体积公式，即得内切球半径r2= 。 题5 （2008年，福建）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 。 解析：由题意，三棱锥的三个侧面两两垂直，则三条侧棱两两垂直，为直角四面体，由命题3，外接球半径为= = ，故S球=9 ，故填9 。 题6 （2005年，辽宁）已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC、PEF都是正三角形，PFAB，如图7所示。 （1）证明：PC面PAB； （2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值； （3）若点P、A、B、C在一个表面积为12 的球面上，求ABC的边长。 解析：由条件知AF=BF=PF，故APB=90，同理APC也是直角，又PFAB，故APB与APC均为等腰直角三角形，由ABC是正三角形知PBC也是与它们全等的等腰直角三角形，故三棱锥P-ABC为直角四面体，且PA=PB=PC，认识了它的图形后，答案明显：（1）证明略。（2）二面角的平面角的余弦值为 。（3）中，其外接球半径= PA= ，故PA=2，从而ABC的边长AB=2 。 四、球与双垂四面体的切与接 另：与命题3类似，将双垂四面体补为长方体；以内切球球心为顶点进行分割，也可得上述结论。 题7 （2008年，安徽）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，BCCD，若AB=6，AC=2 ，AD=8，则B、C两点间的球面距离是 解析：如图9所示，由已知可知四面体ABCD为双垂四面体，易得外接球的半径为4，且BC=4，故球心角BOC= ，从而B、C两点间的球面距离为 ，应填 。 题8 （2006年，江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F。如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别为S1、S2，则必有（ ） A、 S1S2C、S1=S2 D、S1、S2的大小不能确定 解析：由已知O为内切球的球心，且VABEFDV1=VA-EFC=V2 故由命题4，V= S表rV1+V2=2V1=2V2，而V1= S表1r， V2= S表2r，故S表1S表2，即S1=S2，故选C。 五、球与球的相切 命题5 球与球的相切问题，常常是由几个球两两相切叠放，处理时有一定的难度，关键是模型化，抓住球心构成的基本几何体分析，挖掘其中的数量关系，从而求解。 题9 （2005年，全国）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ） A、 B、2+ C、4+ D、 解析：将4个球的球心相连可形成边长 为2的正四面体M，所求原正四面体的高的最小值为下底面上球的半径加上正四面体M的高和最上边小球球心到顶点间距离的和，易知正四面体M的高为 。最上边小球的球心O到原正四面体PABC的顶点P的距离为OP（图11），E为BC中心，H为正ABC的中心。作ODPE，垂足为D，则HE= AE= PE，在RtPHE中，sinHPE=HE/PE= ，在RtPOD中，sinOPD=OD/OP= 所以OP=3OD=3，故所求的高为4+ ,故选C。题10 （2006年,陕西）水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切，在这4个球的上面放有一个半径为R的小球，它与下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面的距离是 。 解析：设小球球心为O，其它4个球心分别是A、B、C、D，则它们构成一个正四棱锥O-ABCD，如图12所示，连接AC、BD交于O1，连接OO1，因AB=4R，故AO1=2 R，又OA=3R，则OO1=R,从而点O到水平桌面的距离是3R，故填3R。 高考中，球与多面体的切接问题除了上述五类外，还有球与长方体、正四棱柱、正三棱锥、正四棱锥等的切接问题，处理时，直观图不好画，空间位置关系比较复杂。一般采取以下方法：第一，降维转换的方法。用平面化的策略，作一个既过球心又包含其它几何体基本量的“特征截面”，通过对截面图形的分析，获取相应的数量关系。同时重视基本几何体（如长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、球等）的概念和性质，善于推导和归纳，丰富学生空间模型的认知结构，使学生形成稳固的概念表征，从而达到熟练应用，融会贯通。第二，割补思想的应用。如将内切球球心与多面体各个顶点相连，就可以将多面体分割成几个以内切球半径为高的小棱锥；将正四面体、正四棱柱，双垂四面体、直角四面角补成长方体、正方体，则它们具有共同的切、接球。将柱体补成锥体，往往有利于求体积；将锥体补成柱体，便于发现隐含的条件关系。第三，渗透类比的思维方法。空间中很多几何体的概念和性质可以由平面图形类比得到，如：长方形、正方