01实数、平方根、立方根1初一自招教师

1 第第 01 讲讲 实数、平方根、立方根（实数、平方根、立方根（1） 【知识点【知识点】 1、 无限不循环小数叫做无理数。无限不循环小数叫做无理数。 无理数有 无数 个，且也有正、负之分： 只有符号不同的两个无理数，如2与2， 与 ，它们互为相反数。 2、 有理数和无理数统称实数有理数和无理数统称实数 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 小数有限小数或无限不循环 负有理数 正有理数 有理数 实数 0 3、 平方根：平方根：一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 （即若ax 2 ，则x叫做a的平方根） 开平方：开平方：求a的平方根的运算， a叫做被开方数。 （开平方与平方互为逆运算） 4 4、 一个正数有两个平方根,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 正数a的两个平方根用“a ”表示，其中a表示a的_正_平方根(又叫算术平方根)，a 表示a的_负_平方根. 5 5、 aa 2 )(（其中0 a） ；aa 2 （a取一切实数） ； 6 6、 a的立方根：的立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做a的立方根，用“ 3 a”表示，读作“三次 根号a” ， 3 a中的 a叫做被开方数， “3”叫做根指数。 开立方：开立方：求a的立方根的运算， 3 a中的a叫做被开方数。 7 7、 任何实数a都有且只有一个立方根。 8 8、 aa 33 )(（其中a为一切实数） ；aa 33 2 【例题精讲】【例题精讲】 【例题1】在 、 2 3 1441 9 22 2 22 . 32、 3 、0、0.1515515551（两个 1 之间依次多 1 个 5） 中无理数的个数有（ D ） （A）6 个 (B)5 个 （C）4 个 （D）3 个 【例题2】 9 4 的平方是 , 9 4 的平方根是 .（ 81 16 ， 3 2 ） 【例题3】 24 的平方根是 4 ； 16 1 5 4 9 2 ； 121 81 的负平方根是 11 9 。 【例题4】若一个正数的平方根是12 a和2 a，则 a 1 ，这个正数是 9 。 【例题5】21 a的最小值是 2 ，此时a的取值是 1 。 【例题6】求值 （1） 169 81 （2）0324. 0 （3） 21 . 0 （4） 2 2 4041 （5） 21x 解： （1） 13 9 （2） 18. 0 （3）1 . 0 （4）9 （5）x 1 【例题7】已知n 3675是一个自然数,求满足条件的最小自然数n的值. 解: 22 7533675 ,由题意得,满足条件的最小自然数n的值为3. 【例题8】27的立方根是 3 . 125 1 的立方根是 5 1 .7 的立方根是 3 7 . 【例题9】当m 3 时，m 3有意义；当m 为一切实数 时， 3 3 m有意义。 【例题10】64 的立方根是 2 ；若一个数的平方根是 8，则这个数的立方根是 4 。 3 【例题11】 3 1 是 9 1 的平方根，又是 27 1 的立方根。 【例题12】使 33 aa 成立的条件是 0 a . 【例题13】已知ba,是一个正数的两个平方根，则 333 ba = 0 。 【例题14】求值： （1） 3 64 （2）3 125 27 （3）3 64 3 2 （4） 33 275 (5) 3 3 1a 解： （1）4 （2） 3 5 （3） 5 4 （4）-2 （5）1 a 【例题15】已知：x= ba m 是m的立方根，而y= 3 6 b是x的相反数，且73 am。求mba、的 值. 解：由题意,可得 73 6 3 am mb ba 解得 8 2 5 m b a 【例题16】已知a没有平方根，化简： 233 aaa 解：a没有平方根，所以0 a 【例题17】 233 aaa =aaaa3 【例题18】已知31315153 aab，且11 a的算术平方根是m，14 b的立方根是n， 试求 4319 mnmn的平方根和立方根。 解： 0315 0153 a a ，得5 a31 b；411 am，514 3 bn 4319 mnmn的平方根为 84319 mnmn； 4319 mnmn的立方根为 44319 3 mnmn 4 【例题19】若 021 2 aba，求 111 1122ababab 1 20072007ab 的值。 解： 02 01 ab a ，得 2 1 b a 20072007 1 22 1 11 11 bababaab 20009 2008 2009 1 1 20092008 1 43 1 32 1 21 1 . 【例题20】已知 zyxzyx 2 1 21，求zyx、的值 解：令czbyax 21，得2, 1, 222 czbyax 由 zyxzyx 2 1 21得， 21 2 1 222 cbacba 3222 322 cbacba 0111 222 cba 1, 1, 1 cba 3, 2, 1 zyx 【课后作业【课后作业】 【作业1】 已知 3 83 x和 3 53 y互为相反数，求3yx 的值。 解：由 3 83 x和353 y互为相反数得 )53(83 yx 1 yx 所以11 3 3 yx 5 【作业2】 已知实数zyx、满足0 4 1 2 2 1 2 zyzzyx，求zyx3 的平方根。 解：02 4 1 2 1 2 zyzzyx，得02 2 1 2 1 2 zyzyx 02 0 2 1 0 zy z yx ，解得 2 1 4 1 z yx ，13 zyx zyx3 的平方根1 。 【备用题【备用题】 1.1. 已知 A3 x y xy 是3xy的算术平方根，B 23 2 xy xy 是2xy的立方根，试求AB的 立方根. 解:由题意得 2 233 xy xy ， 4 2 x y ， 所以A 2 633，B 3 442 2 31BA ，所以 1 3 AB 2.2. 若52 m与94 m是同一个数的平方根，求 m 的平方根。 解：52 m与94 m是同一个数的平方根，则52 m与94 m相等或互为相反数； （1 1） 若9452mm,则2m， 2m （2 2） 若 2m-5 与 4m-9 互为相反数，则 9452mm，从而 3 7 m， 3 7 m 3. 已知：9 2 a，b=5，求 2ba 的值 解：由9 2 a得：3 a，由b=5 得：b= 5 当 a=3,b=5 时， 2 ba =8； 当 a=3,b=-5 时， 2ba =2； 6 当 a=-3,b=-5 时， 2ba =8； 当 a=-3,b=5 时， 2ba =2 所以 2ba 的值是 8 或 2。 4. 已知实数a满足aaa 20001999，求 2 1999 a的值 解：02000 a，得2000 a，19991999 aa aaa 20001999，19992000 a， 2 19992000 a 200019992 a 5. 设cba、都是实数，且0 2 cbxax， 042