12 添加辅助线2教师 初一自招进度三

1 / 8 第十二讲 添加辅助线（2） 【一线三等角】 【例题1】如图，ABC是等边三角形，点, ,D E F分别是线段,AB BC CA上的点，若DEF为等边 三角形，问ADBECF成立吗？试证明你的结论。 【例题2】如图：90ABC，BCAB ，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足为 E、F，若5CE ，2AF ，则EF=_； 【例题3】已知：如图，以ABC的顶点A为直角顶点，AC和BC为直角边向ABC形外作等腰 Rt ABD和Rt ACE， 连结DE， 自A向BC作垂线AH， 垂足为H， 延长HA交DE于M， 求证： M是DE的中点 （若是中点改为条件，求证MHBC，则辅助线变为倍长中线。 ） 5 23 2 / 8 【例题4】ABC中，90ACB ，ACBC， 直线MN经过点C，ADMN于点D，BEMN 于点E， （1） 当直线MN旋转到图 （1） 的位置时， 猜想线段,AD BE DE的数量关系， 并证明你的猜想； （2） 当直线MN旋转到图 （2） 的位置时， 猜想线段,AD BE DE的数量关系， 并证明你的猜想； （3） 当直线MN旋转到图 （3） 的位置时， 猜想线段,AD BE DE的数量关系， 并证明你的猜想。 【例题5】如图， 点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)， 作60DMN， 射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? N EBMA D 3 / 8 【截长补短】 【例题6】已知：如图，ABCD 是正方形，FADFAE. 求证：BEDFAE。 【例题7】如图，已知等腰 RtABC 中，B=90 . BAC 的平分线交 BC 于 E，求证 AB+BE=AC. 【解答】证明：延长 AB 至 F 使 AFAC，连结 EF. 易证AFEACE，所以AFAC，FACE AC是正方形ABCD的对角线，ACE45 F45 又CBAB，所以FBE90 ，BEF45 BEBF， ACAFAB+BFAB+BE. 【例题8】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB、AD 上各有一点 P、Q，如果APQ的周长为 2，求 PCQ的度数。 F E D CB A 4 / 8 【例题9】如图，正方形ABCD， 21，Q在DC上，P在BC上。求证：PAPBDQ. 易证AMBAQD，所以24，AQDM，所以124， 又因为 ABDC，所以AQDBAQ1+3，所以M4+3， 所以 PAPM，所以 APMPMB+BPPB+DQ。 【例题10】如图，正方形ABCD中，45EBF，MBEF于M，求证BABM. 【例题11】如图，在正方形ABCD中，EF、是BCCD、边上的两点， 45EAF，求证： EFBEDF 5 / 8 【其他】 【例题12】如图，ABC中，AB=AC，E 是 AB 上任意一点，延长 AC 到 F，使 BE=CF，连结 EF 交 BC 于 M。求证：EM=FM。 【例题13】等腰直角三角形ABO中，90O，点 C 是边 BO 上一点，点 D 是 OA 延长线上的点， 且ADBC。联结 CD 与斜边 AB 相交于点 F，求证：DFCF。 【例题14】如图，已知ABC是等边三角形，120BDC，求证：ADBDCD。 F D B A O C C A B D 6 / 8 【例题15】等边ABC中，点 D 是边 AC 上一点，点 E 是边 BC 上一点， 且BDDE，求证：ADCE。 【例题16】在锐角ABC中，BE、CF是高， 在BE、CF或其延长线上分别截取BPCA，CQBA， 再过P、Q作 PPBC， QQBC， P、 Q为垂足， 若 8PP ， 6QQ ， 则_BC ； Q P E C B A PQ 8 614 EC A B D 7 / 8 【作业1】 如图，正方形 ABCD，21，Q 在 DC 上，P 在 BC 上。求证：PA=PB+DQ。 【作业2】 如图， 过正方形ABCD的顶点A在形内作45EAF，E、F分别在BC、CD上 连 结EF，作EFAH 于H，设正方形边长为a，则AH的长度为_； 【作业3】 ABC为等边三角形， 延长BA至点E， 联结EC， 在BC延长线上取一点D， 使得ECE