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习 题2.1 试给出一个半群，它含有左幺元和右零元，但它不是含幺半群。2.2 给定代数系统U=，其中二元运算*定义如下：1）x*y=minx,y2）x*y=maxx,y对每种情况，U是否为半群？是否为含幺半群？2.3 设是半群，取定aS，在S中定义新的二元运算 为x y=x*a*y试确定是否为半群。2.4 给定半群。试证，对S中任意元素a,b和c，若a*c=c*a和b*c=c*b，则(a*b)*c=c*(a*b)。2.5 给定交换半群U=。试证，若a和b是U中的等幂元，则a*b也是U中的等幂元。2.6 给定代数系统U=，R是实数集合，a,bR，定义*运算如下：a*b=a+b+ab试证明 是含幺半群2.7 给定代数系统U=，其中S=a,b，Ss是S中所有映射的集合，而o是映射的合成。U是否为含幺半群？是否为可交换含幺半群？2.8 给定代数系统U=，其中S=a,b,c,d，运算表为* a b c da a b c db b c d ac c d a bd d a b c1） 试证U是一个循环含幺半群。2） 试求U的所有生成元和等幂元。2.9 试证，每个有限半群都有等幂元。2.10 给定代数系统U=，其中S=a,b,c,d,运算表为* a b c da c b a db b b b bc a b c dd d b d d1） U是否为循环含幺半群？2） 试求U的生成集合。2.11 给定字母表V=a,b，设S是所有以a开始的有限字符串且包含空串 的集合，o是字符串的邻接运算。试证是含幺半群。2.12 给定两个含幺半群U=和V=其中X是任意集合， 和是通常集合的交和并。试求U和V的零元。2.13 设Z是半群U的左零元。试证，对S中任意元素x，x*z也是半群U的左零元。2.14 给定两个半群U=和V=，f: ST是U到V的同构。试证，若z是U的零元，则f(z)是V的零元。2.15 设a是半群U=中的一个元素，对U中任意元素x和y，要是a*x=a*y(x*a=y*a)，就有x=y，则称在U中a是左（右）可约的。试证，在U中若元素a和b都是左（右）可约的，则a*b也是左（右）可约的。2.16 试证，含幺半群的左（右）可逆元素的集合，能构成一个子含幺半群。2.17 试求含幺半群U的所有子半群。并举出U的一个子半群，它是含幺半群，但不是U的子含幺半群。2.18 给定含幺半群U=，其中是通常数的乘法。试证：是U的子半群，但不是子含幺半群。算*分别定义如下：1) S=1,3,4,5,9,*是模11乘法。2) S=Q,*是通常数的加法，3) S=Q,*是通常数的乘法。4) S=I,*是通常数的减法，5) S=a,b,c,d，运算表为* a b c da b d a cb d c b ac a b c dd c a d b6) S=a,b,c,d，运算表为* a b c da a b c db b a d cc c d a ad d c b b对每种情况，试确定U是否为群，若U是群，则指出它的幺元和每个元素的逆元。2.20 设U=是一个具有幺元e的群，试证，若G的任意元素a都有a2=e(或a-1=a)，则U必是交换群。2.21 试证，若是交换群，而n是任意整数，则对于G的任意元素a和b，必有(a*b)n=an*bn。2.22 给定群U=。试证，U是交换群当且仅当对G中任意元素a和b，有a2*b2=(a*b)2。2.23 给定群U=。试证，若对G中任意元素a和b，有a3*b3=(a*b)3 a4*b4=(a*b)4 a5*b5=(a*b)5则U是交换群。2.24 给定两个群U=和V=，其中是通常数的乘法，试证，对，U和V是仅有的非零实数构成的有限群。2.25 给定群U=。试证，当且仅当d是U中一个元素的阶时，d才是m的一个因数。2.26 给定代数系统其中K=e,a,b,c，运算表为* e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e试证，是群（称克莱因(KIein)四元群），但不是循环群。2.27 试用例24.4中对称群的运算表，求出其中哪些元素a和b，能使1）(ab)2a2b22）a2=e3）a3=e这里e表示对称群中的幺元。2.28 给定集合S=1,2,3,4,5和其置换试求出ab,ba,a2,cb,d-1和abc。并解置换方程ax=b。2.29 试求出和的所有子群。2.30 试求出不是正四边形的四边形二面体群。并证这个群是例24.6中正四边形二面体群的子群。2.31 给定，令H=x|xG,对aG,x*a=a*x。试证是群的子群。2.32 设p为素数。试证，pm阶群中一定有p阶子群。2.33 设和是群的s阶和t阶子群，且|ST|=，|ST|=。试证st。2.34 设和是群的两个互不包含的子群，试证，G中存在元素，它既不属于H1，也不属于H2。2.35 设是偶数阶有限群，其幺元为e，试证，在G中存在元素ae，使a2=e。2.36 设是群，H是G的一个子集，且2|H|G|。试证，对G中任意元素a，在H中必存在元素b1和b2，使a=b1*b2。2.37 设f和g都是群U=到V=的同态，令H1=x|xG1,f(x)=g(x)。试证，是群U的子群。2.38 设f是群U=到V=的同态。试证，f为单射的充要条件为K(f)=e1，这里e1是群U的幺元。2.39 设f是群U=到V=的同态，1） 若是U的子群，则是V的子群。2） 若是V的子群，且Tf(G)，则是U的子群，这里f-1(T)表示在f的作用下，T中元素的象源所构成的集合。2.40 在群U=中取定元素a，定义映射f: GG为f(x)=a-1*x*a。试证，f是群U的自同构。2.41 给定两个群U=和V=，其中P=P1,P2,P3,P4和Q=q1,q2,q3,q4。运算表分别为 * P1 P2 P3 P4 q1 q2 q3 q4P1 P1 P2 P3 P4 q1 q3 q4 q1 q2P2 P2 P1 P4 P3 q2 q4 q3 q2 q1P3 P3 P4 P1 P2 q3 q1 q2 q3 q4P4 P4 P3 P2 P1 q4 q2 q1 q4 q3试证，群U和V是同构的。2.42 设是群的子群。试证模H的右陪集关系是G中的等价关系。2.43 设是群的子群。试证，对任意两个左（右）陪集aH(Ha)和bH(Hb)，均有|aH|=|bH|=|H|(|Ha|=|Hb|=|H|)。2.44 设是群的子群，的所有左（右）陪集构成的集合为Sl(Sr)。试证|Sl|=|Sr|。2.45 对例24.4 中的对称群，试求交代群的各左陪集和右陪集。2.46 设是阿上尔群的G规子群，试证商群(G/H, )，也是阿上尔群。2.47 试求群的每个子群的各左陪集和右陪集。2.48 设是群的子群。试证的左（右）陪集中只有一个陪集是群的子群。2.49 设是偶数阶有限群,是群的子群，且试证是正规子群。2.50 设和是群的两个子群（正规子群），令H1H2=h1*h2|h1H