统计学：二项分布与泊松分布ppt课件

.,第1页,医学统计学,主讲程琮,泰山医学院预防医学教研室zcheng,医学本科生用,.,第2页,Theteachingplanformedicalstudents,ProfessorChengCong,Dept.ofPreventiveMedicineTaishanMedicalCollege,MEDICALSTATISTICS,.,第3页,医学统计学教授，硕士生导师。男，1959年6月出生。汉族，无党派。1982年12月，山东医学院公共卫生专业五年本科毕业，获医学学士学位。1994年7月，上海医科大学公共卫生学院研究生毕业，获医学硕士学位。2003年12月晋升教授。现任预防医学教研室副主任。主要从事医学统计学、预防医学，医学人口统计学等课程的教学及科研工作，每年听课学生600-1000人。自2000年起连续10年，为硕士研究生开设医学统计学、SPSS统计分析教程、卫生经济学等课程，同时指导研究生的科研设计、开题报告及科研资料的统计处理与分析。发表医学统计学及预防医学的科研论文50多篇。代表作有“锌对乳癌细胞生长、增殖与基因表达的影响”，“行列相关的测度”等。主编、副主编各类教材及专著10部，代表作有医学统计学、SPSS统计分析教程。获得院级科研论文及科技进步奖8项，院第四届教学能手比赛二等奖一项，院教学评建先进工作者一项。获2004年泰山医学院首届十大教学名师奖。医学统计学为校级和省级精品课程。,程琮教授简介,.,第4页,医学统计学目录,第1章绪论第2章定量资料的统计描述第3章总体均数的区间估计和假设检验第4章方差分析第5章定性资料的统计描述第6章总体率的区间估计和假设检验第7章二项分布与Poisson分布第8章秩和检验第9章直线相关与回归第10章实验设计第11章调查设计第12章统计表与统计图,.,第5页,第7章二项分布与泊松分布目录,第二节泊松分布及其应用,第三节两种分布的拟合优度检验,第一节二项分布及其应用,.,第6页,第7章二项分布与泊松分布学习要求,掌握：二项分布的概念及意义。熟悉：二项分布的适用条件及计算方法。了解：二项分布的概率函数、性质及医学应用。掌握：Poisson分布的概念及意义。熟悉：Poisson分布的适用条件、医学应用及计算方法。了解：Poisson分布的概率函数及性质。了解：二项分布与Poisson分布的拟合优度检验的概念及意义。了解：常用的拟合优度检验方法。,.,第7页,第一节二项分布及其应用,1.二项分布（binominaldistribution）是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。,一、二项分布的概念及应用条件,.,第8页,2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为，其对立结果（阴性）的概率为（1-），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X(X=0,1,2,3,，n)的概率服从二项分布。3.二项分布名称:也称为贝努里分布（Bernoullidistribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。,.,第9页,贝努里模型应具备下列三个基本条件。,试验结果只出现对立事件A或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。每次试验中，出现事件A的概率为p，而出现对立事件的概率为-p。则有总概率p+（1-p）=1。注意：1-p=q,.,第10页,二、二项分布的概率函数,根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,n。,.,第11页,2.则X的概率函数为：,X=0,1,2,n(7.1),式中：01，为组合数，公式（7.1）称随机变量X服从参数为n,的二项分布，则记为XB(n,)。,.,第12页,三、二项分布的性质,二项分布是概率分布，因此它就具备概率分布的各种性质。二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率等于1。,（7.2）,.,第13页,二项式展开式实例,将二项式（a+b）n展开,.,第14页,由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：,（1）展开式的项数为n+1。（2）展开式每项和（1-）指数之和为n。（3）展开式每项的指数从0到n；（1-）的指数从n到0。,.,第15页,由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：,（4）二项分布的区间累积概率设m1Xm2,m1m2）,则X在m1至m2区间的累积概率有：,.,第16页,至多有x例阳性的概率为：,至少有x例阳性的概率为：,X=0,1,2，x(7.4),X=x，x+1，n(7.5),公式（7.4）为下侧累计概率，公式（7.5）为上侧累计概率。,.,第17页,3.二项分布的概率分布图形,以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形,由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。,.,第18页,3.二项分布的概率分布图形,3.n的大小与分布类型:当n之积大于5时，分布接近正态分布；当n5时，图形呈偏态分布。当=0.5时，图形分布对称，近似正态。如果0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。见图7-1。,.,第19页,图7-1二项分布示意图,.,第20页,4.二项分布的数字特征,这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数。随机变量X的数学期望E（X）。即指总体均数。n,.,第21页,随机变量X的方差D（X）2随机变量X的标准差为:,随机变量X的方差及标准差,.,第22页,若X的总体均数和标准差用率来表示，则将公式除以n,得：,.,第23页,四、二项分布展开式各项的系数,二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为：,.,第24页,杨辉三角：可用来表示二项式各项展开式的系数。见图7-2。国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。,杨辉三角,.,第25页,图7-2杨辉三角模式图,.,第26页,杨辉三角的意义：,杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项。当试验次数为n时，有n+1项。杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字，以后每下一行的首项及末项均为，中间各项为上一行相邻两项数字之和。,.,第27页,五、二项分布的应用,二项分布在生物学及医学领域中，主要应用在下列几个方面：总体率的可信区间估计，率的u检验：单样本及两样本比较。样本率与总体率比较的直接计算概率法。,.,第28页,（一）应用二项分布计算概率,【例7.1】如出生男孩的概率P=0.5，出生女孩的概率为（1-P）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其中男孩为X=0,1,2,3的概率按公式（7.1）计算的结果列于表7-1的第（3）栏中。分析：根据题意，已知生育男孩为事件A，其概率P(A)=0.5（即=0.5）；生育女孩为事件B，其概率为P(B)=1-P(A)=1-0.50.5（即1-=0.5）。,.,第29页,生男生女的概率,.,第30页,三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为：,三个妇女生育均为女孩（即无男孩）的概率为：,余类推，见表7-1第（3）栏。表7-1第（5）栏为至少生育X个男孩的累积概率。,.,第31页,(二)样本率与总体率比较的直接概率法,此法适用nP和n(1-P)均小于5的情形。应注意：当样本率大于总体率时，应计算大于等于阳性人数的累积概率。即上侧概率。当样本率小于总体率时，应计算小于等于阳性人数的累积概率。即下侧概率。,.,第32页,【例7.2】A药治疗某病的有效率为80。对A药进行改进后，用改进型A药继续治疗病人，观察疗效。如果用改进型A药治疗20例病人，19例有效。如果用改进型A药治疗30例病人，29例有效。试分析：上述二种情形下，改进型A药是否疗效更好。,.,第33页,【分析】A药有效率为80，可以作为总体率，即00.8。治疗20例病人的样本有效率为（1920）10095；治疗30例病人的样本有效率为（2930）10096.67。两个样本率均大于总体率80，故应计算大于等于有效例数的单侧累积概率（上侧）。,.,第34页,情形一：治疗20例病人的疗效分析,（1）建立检验假设H0：00.80；H1:00.80单侧0.05（2）计算概率值根据二项分布有：,=0.0548+0.0115=0.0663,.,第35页,（3）推断结论本例P0.0663,在0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为改进型A药的疗效优于原A药。,.,第36页,治疗30例病人的疗效分析（1）检验假设同情形一。（2）计算单侧累积概率有：,=0.008975+0.001238=0.0102,情形二：治疗30例病人的疗效分析,.,第37页,（3）推断结论本例P0.0102,在0.05水准上,拒绝H0,接受H1。可以认为改进型A药的疗效优于原A药。,注意：治疗20例病人的有效率为95，治疗30例病人的有效率为96.67，两个样本有效率很接近。但最终得出的结论却不相同。临床上观察疗效，样本含量不能太小。样本含量大，疗效稳定性及可靠性相应增加，受到偶然因素影响的机会变得较小。,.,第38页,【分析】:本例总体率1。调查人群样本反应率为P=（1300）1000.33。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率。,【例7.3】一般人群对B药的副作用反应率为1。调查使用B药者300人，其中只有1人出现副作用。问该调查人群对B药的副作用反应率是否低于一般人群。,.,第39页,（1）建立检验假设H0：调查人群反应率与一般人群相同，00.01H1:调查人群反应率低于一般人群，00.01单侧0.05,.,第40页,（2）计算单侧累积概率:,（3）推断结论本例P0.1976,在0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为调查人群的B药副作用反应率低于一般人群。,.,第41页,第二节Poisson分布及其应用,(一)Poisson分布的概念Poisson分布由法国数学家S.D.Poisson在1837年提出。该分布也称为稀有事件模型，或空间散布点子模型。在生物学及医学领域中，某些现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件称为稀有事件或罕见事件。稀有事件出现的概率分布服从Poisson分布。,一、Poisson分布的概念及应用条件,.,第42页,如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。,Poisson分布的直观描述,.,第43页,Poisson分布属于离散型分布。在Poisson分布中，一个单元可以定义为是单位时间，单位面积，单位体积或单位容积等。如每天8小时的工作时间，一个足球场的面积，一个立方米的空气体积，1升或1毫升的液体体积,培养细菌的一个平皿，一瓶矿泉水等都可以认为是一个单元。一个单元的大小往往是根据实际情况或经验而确定的。若干个小单元亦可以合并为一个大单元。,.,第44页,(二)常见Poisson分布的资料（牢记）,实际工作中，判定一个变量是否服从Poisson分布仍然主要依靠经验以及以往累积的资料。常见Poisson分布资料有：产品抽样中极坏品出现的次数；枪打飞机击中的次数；患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布；奶中或饮料中的病菌个数；自来水中的细菌个数；空气中的细菌个数及真菌饱子数；自然环境下放射的粒子个数；,.,第45页,布朗颗粒数；三胞胎出生次数；正式印刷品中错误符号的个数；通讯中错误符号的个数；人的自然死亡数；环境污染中畸形生物的出现情况；连体婴儿的出现次数；野外单位面积某些昆虫的随机分布；单位容积内细胞的个数；单位空气中的灰尘个数；平皿中培养的细菌菌落数等。,.,第46页,二、Poisson分布的概率函数及性质,定义若变量X的概率函数为,其中0，则称X服从参数为的Poisson分布。记为XP()。式中：为总体均数，n或=np；X为稀有事件发生次数；e为自然底数，即e=2.71828。,（X=0,1,2,）,.,第47页,亦可用下列公式计算,.,第48页,(二)Poisson分布的性质,1.所有概率函数值（无穷多个）之和等于1，即,2.分布函数,（X=0,1,2,x）,.,第49页,（0x1x2）,3.累积概率,4.其它性质,总体均数:,方差：,标准差：,n(或np),2,.,第50页,（三）Poisson分布的图形,Poisson分布的图形：取决于值的大小。值愈小，分布愈偏；值愈大，分布愈趋于对称。当20时，分布接近正态分布。此时可按正态分布处理资料。当50时，分布呈正态分布。见图7-3。这里通过计算一个具体实例来观察Poisson分布的概率分布趋势。,.,第51页,图7-3Poisson分布的概率分布图,.,第52页,【例7.4】计算Poisson分布XP(3.5)的概率。,.,第53页,余类推。经计算得到一系列数据，见表7-2。,.,第54页,（四）Poisson分布的可加性,从同一个服从Poisson分布的总体中抽取若干个样本或观察单元，分别取得样本计数值X1，X2，X3，Xn，则Xi仍然服从Poisson分布。根据此性质，若抽样时的样本计数X值较小时，可以多抽取几个观察单元，取得计数Xi,将其合并以增大X计数值。,.,第55页,三、Poisson分布与二项分布的比较,Poisson分布也是以贝努里模型为基础的。实际上，Poisson分布是二项分布的一种特殊情形，即稀有事例A出现的概率很小，而试验次数n很大，也可将试验次数n看作是一个单元。此时，n或np=为一个常数，二项分布就非常近似Poisson分布。p愈小，n愈大，近似程度愈好。设1。当n=100,=0.01时，及n=1000,=0.001时，按照二项分布及Poisson分布计算概率P（X）。计算结果见表7-3。,.,第56页,二项分布与Poisson分布计算的概率值比较,.,第57页,余类推。,1.按二项分布计算已知：n=100,=0.01,1=0.99，代入公式有：,.,第58页,2.按Poisson分布计算代入公式有：,余类推。,.,第59页,四、Poisson分布的应用,Poisson分布有多种用途。主要包括总体均数可信区间的估计，样本均数与总体均数的比较，两样本均数的比较等。应用Poisson分布处理医学资料时，一定要注意所处理资料的特点和性质，资料是否服从Poisson分布。,.,第60页,（一）总体均数的估计,总体均数的估计包括点估计和区间估计。点估计：是指由样本获得的稀有事件A出现的次数X值，作为总体均数的估计值。该法的优点是计算简便，但缺点是无法得知样本代表总体均数的可信程度。区间估计：可以确切获知总体均数落入一个区域的可信度，一般可信度取95或99。,.,第61页,估计总体均数可信区间一般分为小样本法和大样本法。1.小样本法当样本均数或样本计数值X50时，可直接查附表9，“Poisson分布的可信区间”表，得到可信区间。当样本均数X50时，Poisson分布近似正态分布，可按正态分布处理资料。,.,第62页,【例7.5】在20ml的当归浸液中含某种颗粒30个。试分析该单元浸液中总体颗粒数的95和99的可信区间。,【分析】将20ml当归浸液看作一个单元，该单元的样本均数X30，小于50。可查附表9，求出总体均数的可信区间。用查表法：查附表9(205页)得：总体均数95的可信区间为：（20.2,42.8）总体均数99的可信区间为：（17.7,47.2）,.,第63页,2.正态近似法,当样本均数或计数X50时，可按正态分布法处理。总体均数95和99%的可信区间为,.,第64页,【例7.6】某防疫站检测某天然水库中的细菌总数。平均每毫升288个细菌菌落。求该水体每毫升细菌菌落的95和99的可信区间。,95的可信区间,99的可信区间,.,第65页,(1)发病人数的95可信区间为：,【例7.7】调查1985年某市某区30万人，流行性出血热发病人数为204人。求该市发病人数及发病率（110万）95的可信区间。【分析】已知样本均数X为204人，观察单元n30万人。先计算出发病人数的可信区间，再按照发病率的要求以10万人作为观察单元，计算发病率可信区间的上下限值。,.,第66页,发病率的95可信区间为：,下限值：,上限值：,.,第67页,（二）样本均数与总体均数的比较,常用的方法有两种。直接计算概率法：与二项分布的计算思路基本相同。即当20时，按Poisson分布直接计算概率值。正态近似法：当20时，Poisson分布接近正态分布。按正态分布使用u检验处理资料。,.,第68页,1.直接计算概率法,【例7.8】某地区以往胃癌发病率为1万。现在调查10万人，发现3例胃癌病人。试分析该地区现在的胃癌发病率是否低于以往的发病率。H0:现在胃癌发病率与以往相同，0=0.0001H1：现在胃癌发病率低于以往，0单侧0.05,.,第69页,（2）计算概率值,已知：n=100000，=0.0001，0n0=1000000.0001=10。根据题意，应计算小于等于3人发病的概率P（X3），即：P（X3）P(0)P(1)+P(2)+P(3)应用公式（7.14）及（7.15）有：,.,第70页,计算结果,.,第71页,（3）推断结论本例P0.0103，小于P0.05。在0.05水准上拒绝H0，接受H1。可以认为现在该地区胃癌发病率低于以往发病率。,.,第72页,2正态近似法当20时，用u检验法。,.,第73页,实例分析（1）,【例7.9】根据医院消毒卫生标准，细菌总数按每立方米菌落形成单位（CFUm3）表示。无菌间的卫生标准为细菌菌落数应不大于200（CFUm3）。某医院引进三氧消毒机，每天自动对无菌间进行2小时消毒。对无菌间抽样调查显示，细菌总数为121CFUm3。试问该医院无菌间的细菌总数是否符合国家卫生标准。【分析】若低于国家标准即符合标准，达到要求。,.,第74页,(1)建立检验假设H0:无菌间的细菌总数符合国家卫生标准，=0=200H1:无菌间的细菌总数低于国家卫生标准，1.64,故P0.05。推断结论因P1.96,故P0.05。推断结论因P5.99，则P0.05。(6)推断结论在0.05水准上拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。结论：可以认为三个病房的细菌总数不全相同，即三个病房的细菌污染状况不同。,.,第102页,（五）应用Poisson分布的注意