3.2.2《复数代数形式的乘除运算》课件1.ppt

3.2.2复数代数形式的乘除运算,1复数代数形式的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)_.,(acbd)(adbc)i,2复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有,z2z1,z1z2z1z3,3.共轭复数已知z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，dR，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是_.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是_.复数代数形式的除法法则：(a+bi)(c+di)=_(c+di0).,a=c且b=-d,a=c且b=-d0,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()(2)若z1，z2C，且z12+z22=0，则z1=z2=0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.(),【解析】(1)错误.举反例：如复数2和2i，它们的模相等，但不是共轭复数(2)错误.例如z1=1，z2=i，显然z12+z22=0，但z1z20.(3)正确.设两个共轭虚数分别为z1=a+bi，=abi(a，bR，b0)，差z1=2bi(b0)为纯虚数.答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)复数(2)复数z(2i)i在复平面内对应的点位于第_象限.(3)复数2-的共轭复数是_.,【解析】(1)答案：(2)z(2i)i2ii212i，故复数z(2i)i在复平面内对应的点为(1，2)，位于第一象限答案：一(3)因为2-2+i，所以其共轭复数为2i.答案：2i,【要点探究】知识点1复数代数形式的乘除运算1.复数的乘法(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成1),(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用(3)常用结论：(abi)2a22abib2(a，bR)；(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(1i)22i.,2对复数除法的两点说明(1)实数化：在进行复数除法运算时，通常先把(abi)(cdi)写成商的形式，即(abi)(cdi)分子、分母同乘以分母的共轭复数cdi，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开,【知识拓展】复数乘法的推广复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换律、结合律、分配律.,【微思考】(1)aR，zC，a2|a|2与z2|z|2都成立吗？提示:a2|a|2成立；z2|z|2不一定成立例如zi，z21，|z|21，z2|z|2.(2)z2|z|2成立的条件是什么？提示:当且仅当zR时，z2|z|2成立,【即时练】若复数z1i，i为虚数单位，则(1z)z()A13iB33iC3iD3【解析】选A.因为z1i，所以(1z)z(2i)(1i)13i.,知识点2共轭复数1.共轭复数的注意点(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数.(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.2.共轭复数的性质(1)实数的共轭复数是它本身，即zR(2)相关结论：,【微思考】(1)若z0且z0，则z是否为纯虚数？提示:是纯虚数，因为z0，又实数的共轭是它本身，则由z0且z0知z不是实数，设z1=a+bi，=abi(a，bR)，和z1+=2a=0，故z为纯虚数.利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数(2)复数共轭的共轭是否为复数本身？提示:根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身.,【即时练】若则复数等于()A2iB2iC2iD2i【解析】选D.由故=2i.,【题型示范】类型一复数代数形式的乘法运算【典例1】(1)已知x，yR，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的值为()A.2B.-2iC.-4D.2i(2)已知复数(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.,【解题探究】1.如何求解x+y？2.z1的代数形式如何？z1z2的虚部是多少？【探究提示】1.利用复数相等.2.的虚部为0.,【自主解答】(1)选D.由xi-y=-1+i，得x=1，y=1，所以(1+i)x+y=(1+i)2=2i.(2)设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i，因为z1z2R，所以a4，所以z242i.,【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如，平方差公式、完全平方公式等,【变式训练】(2014豫南九校高二检测)定义一种运算如下：复数(i是虚数单位)对应的复数是()【解析】选A.由题意，得【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.,【补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为_.【解析】因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数，所以n2=m2，故m=n，则由列举法得出投掷结果共有36种可能，相同点数的有6种，则概率为答案：,类型二复数代数形式的除法运算【典例2】(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是则复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)计算：,【解题探究】1.复数z1，z2的代数形式为什么？2.观察式子的特征，应如何计算？【探究提示】1.由复数的几何意义知，z1=2i，z2=i.2.第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再运算.,【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=2i，z2=i，所以对应的点在第二象限.,【方法技巧】复数除法运算法则的应用复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.,【变式训练】(2014湖北高考)i为虚数单位，()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选B.,【补偿训练】已知复数z=1-i，则=()A2iB-2iC2D-2【解析】选B.将z=1-i代入得，,类型三共轭复数【典例3】(1)(2013山东高考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i(2)已知复数z的共轭复数为且求z.,【解题探究】1.如何依据题中等式计算z-3的表达式？2.复数z的代数表达式如何？如何求复数z的实部与虚部？【探究提示】1.2.复数z的代数表达式为a+bi(a，bR)，可用复数相等的方法建立a，b的方程组，求解a，b.,【自主解答】(1)选D.因为(z-3)(2-i)=5，所以所以(2)设zabi(a，bR)，则又所以a2b23i(abi)所以a2b23b3ai13i，所以所以所以z1，或z13i.,【方法技巧】化复为实当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解,【变式训练】(2014陕西高考)已知复数z=2-i，则z的值为()A.5B.C.3D.【解题指南】求出复数z的共轭复数，代入表达式求解即可.【解析】选A.由已知得=2+i，则z=(2-i)(2+i)=22-i2=5，故A正确.,【补偿训练】复数的共轭复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C.第三象限D第四象限【解析】选A.因为所以其共轭复数为对应的点为故选A.,【拓展类型】复数的正整数指数幂的应用【备选例题】(1)(2014滨州高二检测)复数的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)设(i是虚数单位)，求z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6.,【解析】(1)选C.所以其对应的点在第三象限.(2)设S=z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6，zS=z2+2z3+3z4+4z5+5z6+6z7，两式相减得，(1-z)S=z+z2+z3+z4+z5+z6-6z7=所以因为故z6=1，所以,【方法技巧】复数的正整数指数幂的应用(1)求和公式：等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)(2)熟记结论：记住以下结果，可提高运算速度i4n-3i，i4n-2-1，i4n-1i，i4n1(nN*),【规范解答】复数的计算【典例】(12分)已知z2=8+6i，求【审题】抓信息，找思路,【点题】警误区，促提升失分点1：不化简而求值若不进行处与其后的变形化简，而直接求出z的值后代入，则会使运算变得非常烦琐，进而出现错误而不得分.失分点2：漏解在处方程组的解应为两组，求解时需注意不要漏掉一组解而使本例的最终结果漏解，否则最多得6分.失分点3：化代数式在处，对于复数运算的最终结果，要把它化为z=a+bi(a，bR)的形式，这是复数运算的基本要求.,【悟题】提措施，导方向1差异分析的意识在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化，往往能够使问题获得简捷的解决，如本例的条件为z2=8+6i，这就要根据这个条件求出z，然后再求解.2化繁为简的意识对