【高中数学课件】正射影和三垂线定理.ppt

,三垂线定理,复习提问,1、直线和平面垂直的定义是什么？,如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面互相垂直。交点叫做垂足。,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。,2、如何判定直线与平面垂直？,一、点在平面上的射影,垂足P1叫做点P在平面内的正射影(简称射影),P1,P,如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形,则叫做图形F在这个平面上的射影.,二、图形在平面内的射影,斜线与平面相交且不垂直的直线,斜足斜线与平面交点,斜线段斜线上一点与斜足之间线段,斜线,斜足,B,A,O,射影,P,A,O,a,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,证明：,aPA,POa,aOA,a平面PAO,PA平面PAO,POa,POOA=O,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。,a,已知:PO、PA分别是平面的垂线、斜线，OA是PA在平面内的射影。，。,aOA,求证：,aPA,POPA=P,三垂线定理,线射垂直,线斜垂直,三垂线定理：的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影，则它就和这条斜线。,三垂线定理的逆定理平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直。,P,A,O,a,平面内,垂直,垂直,P,A,O,a,三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：,(1)一个平面;,(2)四条直线:,平面的斜线;,平面的垂线;,斜线在平面内的射影;,平面内的一条直线.,(3)三个垂直:,直线与平面垂直;,平面内的一条直线与斜线垂直.,1.PA平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。,求证:BCPM.,A,B,C,P,M,2.PA平面ABC，PB=PC,M是BC的中点。,求证:AMBC.,1.PA平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。,求证:BCPM.,2.PA平面ABC，PB=PC,M是BC的中点。,求证:AMBC.,A,B,C,P,M,练习:1、正方体ABCD-ABCD(1)找平面AC的斜线BD在平面AC上的射影;(2)BD与AC的位置关系如何?,A,B,C,D,D,2.正方体ABCD-ABCD(1)求证:BDAC(2)求证:BDBC,A,B,C,D,A,B,C,D,2.正方体ABCD-ABCD(1)求证:BDAC(2)求证:BDBC,A,B,C,D,A,B,C,D,例2：正方形ABCD的边长为12，PA平面ABCD，PA=12，O为对角线BD的中点，求：点P到对角线BD的距离,P,O,A,B,C,D,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,回顾思考,直线a一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。,注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？,回顾思考,若a是平面的斜线，直线b垂直于a在平面内的射影，则ab（）,若a是平面的斜线，直线b且b垂直于a在另一平面内的射影则ab（）,若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影，则ab（）,练习：判断下列命题是否正确：,若a是平面的斜线,b,直线b垂直于a在平面内的射影，则ab(),课堂小结:1、三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理，承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域。,2、三垂