线性代数总复习

线性代数总复习,一、行列式,二、矩阵,三、向量之间的关系,四、线性方程组的解,五、特征值与特征向量,一、行列式,1、二阶三阶行列式的计算,2、n阶行列式的计算,性质1行列式与它的转置行列式相等.,性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,(1)利用行列式的性质计算,（化为三角形）,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例计算行列式,解,(2)利用行列式展开计算,定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,例,二、矩阵,1、矩阵的逆的求法,（1）公式法（伴随法）,（2）初等变换法,行的初等变换,例1求方阵的逆矩阵.,解,（公式法）,故,（初等变换法）,即,初等行变换,2、矩阵的秩,矩阵秩的求法,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例,解,三、向量之间的关系,1、线性组合,向量能由向量组线性表示,定义,存在矩阵，,使得,判定,线性表示,存在矩阵，,使得,解,阵,有相同的秩。,下面把矩阵化为行最简形：,法一,向量可由向量组线性表示。,从而,其中为任意常数。,法二,设,即,也即,其中为任意常数。,解得其通解为,故向量可由向量组线性表示，且,其中为任意常数。,定义,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关,2、线性相关性,定理,判定,例1,解,3、最大无关组及向量组的秩,设有向量组，,满足下面两个条件：,如果能在中选出个向量,（1）向量组线性无关；,线性表示。,（2）向量组中的每一个向量都能由向量组,则称向量组为向量组的最大无关组。,最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。,向量组的秩的求法,最大无关组的求法,且列向量组的一个最大无关组为,因此,四、线性方程组的解,定理,元线性方程组,1),有唯一解,2),无解,3),无穷多解,定理,元齐次线性方程组有非零解,则齐次线性,其中为任意实数。,非齐次线性方程组的通解,例求解非齐次方程组,解：,令,则,为任意常数）,法1：,法2：,令,得,又原方程组对应的齐次方程组的通解是,令,得基础解系,所以原方程组的通解是,为任意常数）,五、特征值与特征向量,（1）如何求的特征值？,解特征方程,特征方程的根即为矩阵的特征值。,（2）如何求属于特征值的特征向量？,解齐次线性方程组,其非零解即为属于特征值的特征向量,1、特征值与特征向量的求法,解,得基础解系为：,使得,则,若存在可逆矩阵，,（1）为矩阵的特征值,（2）为对应于特征值的特征向量。,2、方阵的对角化,解,解之得基础解系,所以可对角化.,注意,即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,3、实对称矩阵的对角化,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,2.,1.,具体步骤为：,解：,当时，齐次线性方程组为,得基础解系,令,再单位化：令,当时，齐次线性方程组