2011届高考数学总复习测评课件60.ppt

第三节导数的应用(),基础梳理,1.一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用.,题型一求函数的最值【例1】已知函数f(x)=x2ex,求函数在-1,1上的最值.分析通过求导，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，找到最值.解f(x)=x2ex,f(x)=2xex+x2ex=ex(2x+x2).令f(x)=0,得ex(2x+x2)=0,x=0或x=-2(舍去).f(0)=0,f(-1)=e-1=,f(1)=e,f(x)max=f(1)=e,f(x)min=f(0)=0.,典例分析,学后反思求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到，其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.,举一反三,1.（2008广东）已知a为实数，函数f(x)=(+1)(x+a).若f(-1)=0,求函数y=f(x)在上的最大值和最小值.,解析:f(x)=3+2ax+1.f(-1)=0,3-2a+1=0,即a=2,f(x)=3+4x+1=3(x+1).,由f（x）0，得x-1或x-;由f(x)0,得-1x-.因此，函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=处取得极小值f（）=.又f（）=,f(1)=6,且,f(x)在上的最大值为f(1)=6,最小值为f（）=.,题型二导数在实际问题中的应用【例2】用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图）.问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析引进变量建立目标函数，利用导数求最值.,解设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,则V（x）=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320 x(0x24).V(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).,当10x24时，V(x)0,那么V(x)为减函数.因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10(90-20)(48-20)=19600(cm3).答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.学后反思在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.,令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0x10时,V(x)0,那么V(x)为增函数；,举一反三,2.(创新题)2009年11月，济南市某开发商用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）,解析：设楼房每平方米的平均综合费用为y元，依题意得y=(560+48x)+=560+48x+(x10,xN*),则y=48-,令y=0，即48-=0,解得x=15,当x15时，y0;当0x15时，y0,题型三求单调区间与解含参不等式【例3】（2008全国）已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(aR),试讨论f(x)的单调区间.分析求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.,因此，当x=15时，y取得最小值，ymin=2000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.,解f(x)=3x2+2ax+1,判别式=4a2-12,(1)当0,即a3或a-3时，在上f(x)0,f(x)是减函数;在和上，f(x)0,f(x)是增函数.（2）当0,即-a时，则对所有xR都有f(x)0，此时f(x)在R上是增函数.（3）当=0,即a=时，则且对所有的x都有f(x)0,故当a=时，f(x)在R上是增函数.,学后反思分类讨论是数学上一类重要思想.对含参数的函数求单调区间时，求导后仍含有参数，可转化为解含参数的不等式问题,解含参数的不等式常通过讨论来完成.还要注意,在讨论时各种情况要考虑全面，如本题易遗漏=0,即a=的情况.,举一反三,3.(2009天津改编)设函数f(x)=(xR),其中m0.求函数的单调区间与极值.,解析：f(x)=-+2x+-1,令f(x)=0,得x1=1-m,x2=1+m,因为m0,所以1+m1-m.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,f(x)在(-,1-m)和(1+m,+)上为减函数，在(1-m,1+m)上为增函数.函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)=;函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=.,题型四导数与不等式的证明【例4】(14分)已知定义在正实数集上的函,g(x)=3a2lnx+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证：f(x)g(x)(x0).分析(1)利用好两个函数满足的两个条件，找出a与b的关系.(2)可转化为研究函数F(x)=f(x)-g(x),只要证明F(x)0（x0）即可.,解(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同1f(x)=x+2a,由题意知f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),即,由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去).即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.4令h(t)=t2-3t2lnt(t0),则h(t)=2t(1-3lnt).故当t(1-3lnt)0,即0t时，h(t)0;.5当t(1-3lnt)0,即t时，h(t)0.6,故h(t)在(0,)上为增函数，在(,+)上为减函数，.7于是h(t)在(0,+)上的最大值为h()=，即b的最大值为,(2)证明：设F（x）=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x0),.9则故F(x)在（0,a）上为减函数，在(a,+)上为增函数.11于是F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.13故当x0时，有f(x)-g(x)0,即当x0时，f(x)g(x).14学后反思采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，也是证明不等式的常用技巧.若证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明f(x)-g(x)0.如果f(x)-g(x)0，说明函数f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数，如果f(a)-g(a)0,由增函数的定义可知，当x(a,b)时，f(x)-g(x)0，即f(x)g(x).,举一反三4.已知函数,求证:当x1时，对任意的正整数n,总有f(x)x.证明:x1,对任意正整数n，恒有1,故只需证明1+lnxx.令h(x)=1+lnx-x,x1,+),则h(x)=-1.当x1时，h(x)0,故h(x)在1,+)上递减，即h（x）h(1)=1+ln1-1=0,1+lnx-x0,即1+lnxx,f(x)x.,考点演练,10.(2010绵阳诊断考试)已知f(x)=+m-x+2(mR)，如果函数的单调减区间恰为,求函数f(x)的解析式.,解析：f(x)=3+2mx-1.f(x)=3+2mx-10的解集为,3+2mx-1=0的两根分别为,1,将x=1或代入方程3+2mx-1=0得m=-1,f(x)=-x+2.,11.(2010南昌模拟)已知函数f(x)=-alnx(xR).（1）若函数f(x)在(1,+)上为增函数，求a的取值范围；（2）讨论方程f(x)=0的解的个数，并说明理由.,解析：(1)若函数f(x)在(1,+)上恒成立，则f(x)=x-0在(1,+)上恒成立，即a在(1,+)上恒成立，所以有a1.(2)当a=0时，f(x)在定义域(0,+)上恒大于0,此时方程无解；当a0时，f(x)=x-0在(0,+)上恒成立，所以f(x)在定义域(0,+)上为增函数.f(1)=0,f()=-10,所以方程有唯一解.当a0时，f(x)=.因为当x(0,)时，f(x)0,f(x)在(0,)内为减函数；当x(,+)时，f(x)0,f(x)在(,+)内为增函数.所以当x=a时有极小值,即为最小值f()=a-aln=a(1-lna).当a(0,e)时，f()=a(1-lna)=0,此方程无解.当a=e时，f()=a(1-lna)=0,此方程有唯一解x=,当a(e,+)时，f()=a(1-lna)0.,因为f(1)=0且1,所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解，因为当x1时，(x-lnx)0，所以x-lnx1,所以xlnx,f(x)=-alnx-ax,因为2a1,所以f(x)=0,所以方程f(x)=0在区间(,+)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+)上有两解.综上所述，当a0,e)时，方程无解；当a0或a=e时，方程有唯一解；当ae时,方程有两解.,12.(2008天津)已知f(x)=x+b（x0）,其中a,bR.(1)若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1,求f(x)的解析式;（2）讨论f(x)的单调性；（3）若对任意a,不等式f(x)10在上恒成立，求b的取值范围.,解析：(1)f(x)=1-,f(2)=3,a=-8,由切点P(2,f(2)在y=3x+1上,可得b=9,f(x)的解析式为