圆盘定理及其应用

圆盘定理及其应用除了矩阵特征值的定义和确定特征值范围的圆盘定理外，还深入研究了估计和定位特征值的圆盘定理。同时，对于对角占优的实矩阵，给出了一种更精确的估计和定位特征值的方法。由于圆盘定理在用其他方法估计特征值方面具有不可替代的优势，圆盘定理在各行各业得到了广泛的应用。集成电路加工技术之一是离子注入，它可以精确控制离子的注入量和注入位置。然而，离子注入后，半导体的晶格结构将受到影响。为了修复受损的晶格，半导体必须在离子注入后退火。本文在模拟退火法的基础上，利用圆盘定理提出了一种新的算法。新算法用于求解实特征值问题，具有通用性和高稳定性。在要求极高精度的集成电路退火过程中，它肯定会有很好的应用。关键词：圆盘定理矩阵特征值退火工艺集成电路退火算法介绍假设满足、和0，复数称为方阵a的特征值，x为相应的特征向量。我们知道在复域中每个方阵有n个特征值。特征值理论及其应用已经渗透到数学和其他科学的许多领域。主要的方面是如何找到n个特征值。理论上，求方阵的n个特征值是。当n时，没有求特征方程根的一般公式。因此，特征值的研究转向两个方面：一是近似求特征值；第二，特征值估计和定位。事实上，在许多应用中，没有必要精确地找到特征值，但是仅仅粗略的估计就足够了。例如，在微分方程和自动控制理论的研究中，可以通过估计矩阵A的特征值是否都是负实部来确定系统的稳定性。对于与差分方法的稳定性和线性方程组的迭代解法有关的问题，有必要估计矩阵的特征值是否都在单位圆内。因此，特征值的估计和定位一直是人们关注的话题。目前，矩阵理论中特征值在各行业的应用不需要精确计算，只需要一次估计和定位，所以目前的研究阶段是特征值的估计和定位。集成电路加工中的一个重要过程是退火。退火的目的是修复先前工艺中由离子注入引起的晶格缺陷。在模拟退火算法中，矩阵特征值的估计和定位尤为重要。对于矩阵特征值的估计和定位，一个好的定理已被普遍应用。这就是圆盘定理，它解决了上面提到的一系列问题。2.初步知识1矩阵特征值的定义是：如果满足、和0，则复数称为矩阵A特征值，x为相应的特征向量。Gerschgorin圆盘定理如果，那么A的所有特征值(可以加权)都落入复平面的N个圆盘中。此外，还有一个收敛的。A的N个圆盘中的S个圆盘形成连通域G，并且不与其他N个圆盘相交，那么只有A的S个特征值落在G内3奥斯特罗夫斯基圆盘定理设，是a的任何特征值，那么至少有一个I，因此，其中，a的n个特征值都落在下面的n个圆盘上其间此外，必须注重两者的结合。Gerschgorin定理是利用方阵本身的元素及其简单函数来估计A的特征值位置的基本定理。从这个定理可以得出：(1)孤立圆盘包含且仅包含一个特征值，而s连通圆盘恰好包含s个特征值，这并不保证每个圆盘都必须有一个特征值a；(2)如果a的n个圆盘不相交，那么a有n个不同的特征值，每个特征值恰好在一个孤立的圆盘中。因此，通过不断减小盘的半径，可以通过隔离每个盘来近似估计和定位A的特征值。三圆盘定理的应用圆盘定理最早由Gersgorin在1931年提出，是特征值估计中最古老、最简单和最漂亮的结果之一。由于圆盘定理在特征值估计和定位方面的优越性，在圆盘定理的后期发展中出现了各种推理和改进定理。在此基础上，圆盘定理在各个行业的应用越来越广泛。本文对对角占优实矩阵圆盘定理的特征值估计和矩阵实特征值的模拟退火算法求解进行了分析和讨论。1对角占优实矩阵的特征值估计从这两个圆盘定理出发，可以得到其它几个实用性很强的定理来估计和定位矩阵的特征值。然而，不管使用哪一个定理，主对角线元素被选择作为圆心，并且具有一定半径的圆盘被用来定位特征值。这个方法确实是一个非常好的方法，但是在实际应用中我们注意到，估计所有矩阵的特征值的总体分布是非常好的，但是很难估计每个特征值的具体大小。通过深入研究，发现这个问题的根本原因是圆盘圆心的选择。例如，如果特征值被盘覆盖，如果特征值和盘之间的差异大，盘半径将会更大。由于等效偏移量不同，在许多情况下，仅通过调整半径很难隔离连续的磁盘。因此，等效偏移量将直接影响该方法的可行性和实用性。然而，对于对角占优矩阵，其主对角元素的偏移不太大。因此，通过简单的相似变换，适当减小圆盘的半径，可以达到隔离圆盘的目的。接下来，我们可以在简单的相似变换下研究对角占优矩阵的一些性质。(1)对角占优矩阵：集合，如果I=1，2，n. A是一个对角占优的矩阵。类似地，可以定义列对角占优矩阵。(2)基于圆盘定理，对角占优矩阵被更精确地定位和估计：假设有n个数B0(1=1，2，所以=(I=1，2，n)。选择B的原则是将变换后的连通区域变成孤立区域，然后将特征值分布在N个不同的孤立盘中，从而使特征值的估计和定位更加准确。参考1蒋等.矩阵理论及其应用.北京，北京航空