05 第3章 圆锥投影.ppt

1,第三章圆锥投影（ConicalProjection）,蒲英霞南京大学地理与海洋科学学院2011年10月11日,2,圆锥投影的一般公式等角圆锥投影（Lambert）等面积圆锥投影（Albers）等距离圆锥投影斜轴、横轴圆锥投影圆锥投影的分析和应用,3,3.1圆锥投影的一般公式,圆锥投影的概念,设想用一个圆锥套在地球椭球体上，然后把地球椭球面上的经纬线网按照一定条件投影到圆锥面上，最后沿着一条母线（经线）将圆锥面切开而展成平面，就得到圆锥投影。,4,切圆锥投影、割圆锥投影,圆锥投影的分类,按圆锥面与地球椭球体之间的关系,等角投影、等面积投影和任意投影,按圆锥面与地球椭球体所处的不同位置,正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影,按变形性质,5,6,纬线：投影为同心圆圆弧；经线：投影为相交于一点的直线束，且夹角与经差（）成正比；经纬线：正交。,正轴圆锥投影的一般公式,7,Conicprojections,inthenormalpolaraspect,haveasdistinctivefeatures:（1）meridiansarestraightequidistantlines,convergingatapointwhichmayornotbeapole.Comparedwiththesphere,angulardistancebetweenmeridiansisalwaysreducedbyafixedfactor,theconeconstant.（2）parallelsarearcsofcircle,concentricinthepointofconvergenceofmeridians.Asaconsequence,parallelscrossallmeridiansatrightangles.Distortionisconstantalongeachparallel.Duetosimpleconstructionandinherentdistortionpattern,conicprojectionshavebeenwidelyemployedinregionalornationalmapsoftemperatezones(whileazimuthalandcylindricalmapswerefavoredforpolarandtropicalzones,respectively),especiallyforareasboundedbytwonottoo-distantmeridians,likeRussiaortheconterminousUnitedStates.Ontheotherhand,conicprojectionsareseldomappropriateforworldmaps.,8,正轴圆锥投影的极坐标公式：,正轴圆锥投影的直角坐标公式：,：纬线投影半径；f：取决于投影性质；：投影常数；：经差。,s：纬线s的投影半径，在一定投影中是常数。,s,9,圆锥投影经、纬线长度比、面积比和角度变形公式：,对上式求偏导数：,一般公式：,10,沿经纬线长度比、面积比和最大角度变形公式：,m之所以取负号在于和的起算方向相反。,代入高斯系数：,11,图3-2圆锥投影中两个面的微分线段,由图3-2，设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，d是两经线的微小夹角d的投影，d是椭球体面上纬度的微小变化(d)而产生投影后纬线半径的微小增量。,正轴圆锥投影经、纬线长度比、面积比和角度变形公式推导(第二种方法)：,12,经纬线长度比、面积比和角度变形公式：,13,正轴圆锥投影的一般公式为：,对于椭球体：,对于球体：,14,3.2等角圆锥投影（Lambert）,等角圆锥投影条件：,改写为：,积分：,将长度比公式代入，得：,15,令esin=sin，则,式中K为积分常数，当=0时，=K，故K为赤道的投影半径。,e1为第一偏心率,16,或按照以下方法进行积分,17,正轴等角圆锥投影的长度比、面积比和角度变形公式：,18,正轴等角圆锥投影的一般公式为：,在上式中，尚有常数和K还需要进一步确定。,19,首先研究本投影中长度比(n)的变化情况。,为此先求n对的一阶导数：,因为,所以,20,根据下式,21,要使,所以,以0表示最小长度比的纬圈。,22,为了证实0纬圈的长度比为最小，应证明n对的二阶导数大于零。,以0代入，得:,23,由于制图区域中只有一条纬线无长度变形，表明0处长度比n0为最小，其余纬线上的长度比皆大于1，即,3.2.1指定投影区域中一条纬线无长度变形,为了使通过0处长度比n0无变形，即在该纬线上保持主比例尺不变，有，,该投影在制图区域内具有一条标准纬线，称为等角切圆锥投影。,即,24,3.2.2指定投影区域中两条纬线无长度变形,在投影区域内，确定纬度为1和2的两条纬线，并要求其长度比都等于1。条件为n1=n2=1，亦即,得,本投影具有两条标准纬线，称为双标准纬线等角圆锥投影或等角割圆锥投影（或Lambert投影）。,25,3.3等面积圆锥投影(Albers),根据等面积条件P=mn=1，得：,移项后,积分得,式中C为积分常数，S为椭球面上经差为1弧度，纬差为0到的梯形面积。,26,MapinAlberssconicprojection,renderedwithstandardparallels60Nand30N;referenceparallel45N,centralmeridian0,TheGermanHeinrichC.Alberspublishedhisequal-areaconicprojectionin1805.Asusual,thereislittledistortionalongthecentralparallelandnoneonthestandardones.Thestandardparallelsmaylieondifferenthemispheres,butifequidistantfromtheEquator,theprojectiondegeneratesintoanequal-areacylindrical.ThisprojectionwascommonlyappliedtoofficialAmericanmapsafterusageofthepolyconicprojectiondeclined.,InaparticularcaseofAlberssconicprojection,either90Nor90Sischosenasastandardparallel,andthereforemeridiansconvergeatapole.PublishedbyLambertin1772,thisprojectionpreservesareas,thusparallelsarefartherapartnearthevertex,gettingclosertogethertowardsthenon-standardpole.When0ischosenastheotherstandardparallel,theresultisaconeconstantof1/2andasemicircularmap.Lamberthimselfchoseaconstantof7/8forhismapofEurope:theresultingstandardparallel,roughly4835N,liesbetweenParisandMunich.ThisprojectionwasemployedmuchlessfrequentlythanAlberss.Infact,itisprobablytheleastknownofLambertsprojections.,27,本投影中仍有两个常数和C待确定。,正轴等面积投影的一般公式为：,28,依照前面所使用的方法，先确定长度比最小的纬线。为此先求n2对的一阶导数，并使之等于零。,按,故,假设在0处有极值，必须使,同样，也可证明n2对的二阶导数大于零，说明n0为最小值。,化简得,29,3.3.1指定投影区域中一条纬线无长度变形且长度比为最小,根据投影条件，指定无长度变形所在纬线的纬度为0，其上n0=1，且为最小。可得：,因为,将代入，并导出0，则,所以,本投影只有一条无变形的纬线即单标准纬线，故又称为等面积切圆锥投影。,30,3.3.2指定投影区域中两条纬线无长度变形,根据指定条件：1和2上n1=n2=1，有n12=n22=1。由,两式相减，可得：,得：,31,标准纬线1和2的投影半径：,可得：,本投影在两条纬线上无长度变形，称为正轴等面积割圆锥投影或Albers投影。,32,3.4等距离圆锥投影,通常保持经线投影后无长度变形，即m=1。有：,积分,式中C为积分常数，s为由赤道至纬度的一段经线弧长。,Equidistantconicmap,standardparallels60NandEquator,centralmeridian0.Afullmapispresentedforillustrationonly,sincethisprojectionisseldomusedforworldwidemaps.,33,DetailofequidistantconicmapwithstandardparallelsaschosenbyMendeleyev(90Nand55N);centralmeridian100E.Onlyatinymissingwedgepreventsitfrombeingafullazimuthalmap.,Equidistantconicmap,standardparallels30Nand60S,34,本投影有两个常数和C待定。,正轴等距离投影的一般公式为：,35,依照前面方法，确定长度比最小的纬线。,纬线长度比,计算n对的导数，并整理得：,设0处有极值，则,由,得,36,将,代入长度比公式，有：,或,为证明在0处为极小，可求二阶导数，验证其是否大于零。,由此可证明n0为极小值。,37,3.4.1指定投影区域中某纬线上长度比等于1且为最小,根据条件，有n0=1。,此投影有一条标准纬线，故又称为等距离切圆锥投影。,由,得,又,因此，,所以,38,3.4.2指定投影区域中两条纬线上无长度变形,设在投影区域内已选定1、2两条纬线，要求n1=n2=1，据此条件有，,由此得,此投影有两条标准纬线，故又称为等距离割圆锥投影。,或,39,3.5斜轴、横轴圆锥投影,当投影区域不是沿纬线延伸时，适宜采用斜轴或横轴圆锥投影。,在斜轴或横轴圆锥投影中，等高圈投影为一组同心圆弧（相当于正轴投影的纬线），垂直圈投影为过圆心的一组射线，且两直线间的夹角与相应的两垂直圈之间的夹角成正比（相当于正轴投影的经线）。经纬线投影为复杂的曲线，只是通过新极点的经线投影为直线，且成为其它经线的对称轴。,40,3.6圆锥投影的分析和应用,圆锥投影变形的分析及其应用,41,正轴圆锥投影的变形仅与纬度有关，而与经度无关。同一条纬线上变形相等。,单标准纬线圆锥投影在纬线0上n=1，其余均大于1；双标准纬线圆锥投影中，纬线1、2的长度比n1=n2=1，变形自1、2向中间和向外逐渐增加，而且在1、2之间n1。,任何圆锥投影的变形，自标准纬线起向高纬度增长快，向低纬度增长慢。沿经线长度比，则根据投影的变形性质而不同。,在同一投影区域内，割圆锥投影中变形增长的绝对值比切圆锥投影要小些。因此，前者比后者优越，在实际应用中也较广泛。,圆锥投影最适宜用作沿纬线延伸的中纬度地区的地图投影。,42,圆锥投影标准纬线的选择,制图区域南北纬差不大，只有34度，就可以采用单标准纬线。单标准纬线的选择非常简单，只要由制图区域南北边纬线的纬度取中数并凑整为整度或半度就可以。,制图区域跨纬差稍大一些，一般多采用双标准纬线。双标准纬线的选择通常有两种情况：预先选定和由所指定的条件决定。,43,Relativelyfewprojectionsarecalledconic;nevertheless,manyothersareruledbyconicprinciples,sincetheconeisalimitingcaseofboththecircle(aconewithnoheight,andconeconstant1)andthecylinder(aconewithvertexatinfinity,withstandardparallelssymmetricalnorthandsouthoftheEquator).Thereisonlyonetypeofequal-areaconicprojection,andonlyoneisconformal.Conicconstraintsarerelaxedbypseudoconic(withcurvedmeridians)andpolyconic(withnonconcentricparallels)projections.Conicandconiclikeareamongtheoldestprojections,beingthebaseforPtolemysmaps(ca.100).,44,Conformalconicmapwithstandardparallels50Nand10S,clippedat50S.,Thesamepaper(1772)withLambertsequal-areaconicprojectionincludedhisconformalconicdesign:Lambertexplicitlyinvestigatedaconicapproachasintermediarybetweenthethenknownconformalprojections,azimuthalstereographicandMercators.Theseareinfactspecialcasesoftheconformalconic,obtainedrespectivelywhenonepoleisthesinglestandardparallelandwhenthestandardparallelsaresymmetricallyspacedaboveandbelowtheEquator.ThisprojectionremainedessentiallyignoreduntilWorldWarI,whenitwasemployedbytheFrenchmilitary.Sincethen,ithasbecomeoneofthemostwidelyusedprojectionsforlarge-scalemapping,secondonlytoMercators.Likeinallconformalprojections,scaledistortionisgreatlyexaggeratedinthebordersofaworldwidemap,althoughlessthaninMercators.Meridiansconvergeatthepolenearestthestandardparallels;theoppositepoleliesatinfinityandcannotbeshown.Scaledistortionisconstantalongeachparallel.Meridianscaleislessthantruebetweenthestandardparallels,andgreateroutsidethem.,45,Braunstereographicconicmap,Actuallytheonlyconicprojectionpresentedherewhichisdefinedbyasimplegeometricconstruction,thestereographicproj