4.1稳定性定义与稳定性条件.ppt

第4章控制系统的稳定性分析4.1稳定性和稳定性条件的定义。当系统受到干扰时，它的状态就会偏离平衡状态。在所有随后的时间里，系统的响应可能如下：1)系统的自由响应是有界的；2)系统的自由响应是无界的；3)系统的自由响应不仅是有界的，而且还返回到初始平衡状态。李雅普诺夫将上述三种情况分别定义为稳定、不稳定和渐近稳定。显然，如果系统不稳定，系统的响应是无限的，系统的输出将逐渐增加，直到系统损坏或进入振荡状态。因此，系统稳定性是保证系统正常运行的首要条件。稳定性是控制系统最基本的属性。李雅普诺夫使用范数作为状态空间“尺度”的度量。4.1.1范数概念，1 .向量范数定义：n维向量空间范数定义为： (4.1) 2 .矩阵范数定义：mxn矩阵a范数定义为： (4.2)，(4.3) 4.1.2平衡系统在无输入时自由运动。当系统达到一定的状态并保持不变时，这种状态称为系统的平衡状态。根据平衡态的定义，连续系统的平衡态是满足平衡方程的系统状态。离散系统的平衡状态是满足所有k的平衡方程的系统状态。首先，讨论线性系统的平衡状态。由于平衡态是，当A是非奇异矩阵时，系统只有一个平衡态。当A是一个奇异矩阵时，系统有无限个平衡态。对于非线性系统，可能有一个平衡态或多个平衡态。这些平衡态可以用平衡方程来求解。下面是一个例子。例4.1发现下列非线性系统的平衡态解由平衡态定义，平衡态应满足：非线性系统有三种平衡状态：4.1.3李雅普诺夫稳定性定义，1。稳定性定义：如果有另一个实数对应于任何给定的实数，则系统响应从满足不等式的任何初始状态开始，如果系统的平衡状态一直满足，则称它是稳定的。如果它独立于的选择，平衡态被称为一致稳定的。3.大规模(渐近)稳定性的定义：如果系统对于任何大规模的系统总是稳定的，那么系统被称为大规模(渐近)稳定的。如果系统总是渐近稳定的，那么系统在很大范围内是渐近稳定的。不稳定性的定义：如果对一个实数来说，不管它有多小，至少有一条从内部开始的轨道是不稳定的，那么这个平衡态就是不稳定的。上述定义也适用于离散系统，除了连续时间t被理解为离散时间k。注意，的稳定性讨论了在系统没有输入(包括参考输入和干扰)效应或输入效应消失后的自由运动状态。因此，通常通过分析系统的零输入响应或脉冲响应来分析系统的稳定性。线性稳定连续系统的稳定条件。SISO线性定常连续系统的稳定性条件将描述SISO线性定常连续系统的微分方程设定为：(4.4)，则系统的特征方程为：(4.5)，将特征方程(4.5)设定为具有k个实根，将r设定为共轭复数根，则系统的脉冲响应为：(4.6 ),从上述方程可以看出：1)如果它们都是负实部，则存在，因此， 当特征根的所有实部都是2)如果一个或多个特征值是正的，那么，当一个或多个特征值是正的实部时，系统是不稳定的； 如果其中一个或多个为零，而其他的为负，则有一个常数。如果其中一个或几个为零，而其他的为负，那么y(t)的稳态分量就是一个正弦函数。因此，当一个或几个特征值为零，而另一个极点为负实部时，系统就是一个临界条件，称为临界稳定性。临界稳定性在李氏稳定性的意义上是稳定的，但工程不允许系统在临界稳定状态下工作，因此临界稳定性在工程中是不稳定的。结论：线性时不变连续系统稳定的一个充分必要条件是系统的所有特征值或闭环极点都有负实部，或位于复平面的左半部分。多输入多输出线性稳定连续系统的稳定性条件多输入多输出线性稳定连续系统的状态方程如下：(4.7)如果A具有不同的特征值，则存在非奇异线性变换，使其成为对角矩阵，即状态方程在：次非奇异线性变换后的零输入解为：因为、原始状态方程的零输入解为：(4.8)。可以看出(4.9)上述方程的每个元素都是线性组合，因此它可以写成矩阵多项式：所以(4.10)从上述方程可以看出，当A的所有特征值都位于复平面的左半平面时，即，系统对于任何x(0)都是渐近稳定的。只要一个特征值的实部大于零，对于，系统就不稳定。当本征值的实部等于零时，其他本征值的实部小于零时，随着时间的增加，x(t)趋于常数或正弦波，系统在李雅普诺夫意义下是稳定的，或称为临界稳定。当a有多个特征值时，x(t)包含各种项，稳定性结论同上。结论：多输入多输出线性时不变连续系统稳定的一个充分必要条件是系统矩阵A的所有特征值都有负实部，或者都位于复平面的左半部分。4.1.5线性稳定离散系统的稳定性1。SISO线性平稳离散系统稳定性条件假设线性平稳离散系统的脉冲传递函数为，那么系统输出的Z变换为：(4.11)现在我们将讨论在单位脉冲序列离散信号(R(z)=1)作用下系统的输出响应序列。有一个不同的单极子。Y(z)可以扩展到：相应的脉冲响应序列是：(4.12)。如果所有极点都在单位圆内，即，那么系统是渐近稳定的。如果一个极点在单位圆内，而另一个极点在单位圆内，则系统在李雅普诺夫意义下是稳定的，也称为临界稳定性。如果一个或多个极点在单位圆之外，则系统不稳定。具有对应于这对复极点的一对共轭复极点的脉冲响应序列是：由于特征方程是一个实系数，它必须是共轭的。让、代入上述方程得到：(4.13)，这样，如果复极点对在单位圆()内，系统是渐近稳定的；如果超出单位圆()，则系统不稳定；在单位圆()上，系统是临界稳定的。(3)如果它包含重极点而不失一般性，并且如果它包含两个极点，那么Y(z)可以扩展到：并且相应的脉冲响应序列是：(4.14)。显然，如果重极点在单位圆内，也就是说，系统是渐近稳定的。重极点在单位圆之外，也就是说，系统是不稳定的。重极点在单位圆上，也就是说，从方程(4.14)得到的：系统是不稳定的。结论：线性定常离散系统稳定的充要条件是闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内。稳定性条件为2。多输入多输出线性定常离散系统将线性定常离散系统的状态方程设置为：(4.15)并进行非奇异线性变换，方程(4.15)的变换为： (4.16)，(1) a有n个不同的特征值，人们总能找到一个非奇异矩阵p并使矩阵对角化，即，(4.17)根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为(4.18)，并将