分类计数原理和分步计数原理

,分类计数原理与分步计数原理,甲,问题1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,乙,3+2=5（种）,分类计数原理,分类计数原理又称“加法原理”,关于分类计数原理的几点注记：,各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；,分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；,完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的不重不漏,问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,火车1汽车1火车1汽车2火车2汽车1火车2汽车2火车3汽车1火车3汽车2,分步计数原理,完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法做第步有种不同的方法那么完成这件事共有N种不同的方法,分步计数原理又叫作“乘法原理”,关于分步计数原理的几点注记,各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；,分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；,完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤,分类计数原理与分步计数原理的区别,分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事,例题,例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?,注意区别“分类”与“分步”,解:(1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有4+3+2=9种取法。答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。,(2)从书架的1、2、3层各取一本书,需要分三步完成,第1步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种取法,第3步,从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有432=24种取法。答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。,分类时要做到不重不漏,分步时做到不缺步,例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?,本题的特点是数字可以重复使用，例如0000，1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数m=10，有n=4个步骤,结果是总个数,N=10101010=104,解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1数字组成的个数是,答：可以组成10000个四位数字号码。,N=104。,3.四名研究生各从A、B、C三位教授中选一位作自己的导师，共有_种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_种选法。,2.在120共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?,答.：(109+109)/2=90（种）.,43,1.某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?,答：3333=34=81（种）,练习,34,例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,解：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后再选1名上晚班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是,答：有6种不同的选法。,日班晚班,相应的排法,不同排法如下图所示,甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙,日班晚班,例4有数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字许重复）？,解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；,第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法；,第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。,根据分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：N=555=53=125,答：可以组成125个三位数。,1一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+5)展开后共有项？,4+5=9,练习2：,1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.7,2、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种A.510B.105C.50D.以上都不对,练习1：,C,A,例5:满足AB=1,2的集合A,B共有多少种?,解析:法一A,B均是1,2的子集:,1,2,1,2,但不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含AB的两元不定方程,其全部解分为四类:,1.当A=时,只有B=1,2得1组解;2.当A=1时,B=2或1,2,得2组解;3.当A=2时,B=1或1,2,得2组解;,备选例题,4.当A=1,2时,B=或1或2或1,2,得4组解由加法原理,共有1+2+2+4=9组解,法2:设A,B为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入A不装入B,也可装入B不装入A,还可既装入A又装入B,有3种装法;第2步装“2”,同样有3种装法.由乘法原理,共有33=9种装法,总结：分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n