14.1平面及其基本性质

14.1平面,宁静的湖面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以向四周无限的延展，神通广大的孙悟空使尽浑身解数也难以逃脱,平面的概念,观察,请你从适合的角度和距离观察桌面,黑板面或者窗户的表面,它们呈现出怎样的形象？,1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是的,无限延展,问题1：生活中的平面有大小之分吗，其“平”是相对的还是绝对的？提示：有大小之分相对的问题2：几何中的“平面”是怎样的？提示：抽象的理想化，绝对平，无大小之分,1几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分,1、平面是无限延展的,2、画法：,常用平行四边形,3、记法：,平面,、平面,、平面,平面ABCD,平面AC,或平面BD,平面的表示法,(1)水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来如图.,平行四边形,2倍,虚线,45,平面画法总结,2从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示,举例,例1：如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.,A,B,b,a,l,(1),(2),解：在(1)中，,在(2)中，,公理1,若一条直线的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内,即:,A,B,平面的基本性质,练习1：,已知点A,B,C在平面上，证明：ABC的三条边所在直线都在平面上,相交平面画法,画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画.,思考,如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角形所在的平面与课桌所在的平面是否只相交与一点B？为什么？,B,公理2：若两个平面有一个公共点，则它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.,即:,过一点可以做几条直线？两点呢？,过空间中一点可以做几个平面？,两点,三点呢？,思考,公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.,例2证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内思路点拨先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上,精解详析已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内,证法1：(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平面内,证法2：(辅助平面法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内,一点通证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理3，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”,3已知直线ab，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面,证明：法一：,法二：ab，a，b确定一个平面.alA，直线a，l确定一个平面，又lbB，B，B，a，a，平面与重合故直线a，b，l共面,4已知，四边形ABCD为梯形，ABCD，求证：A、B、C、D四点共面