高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件.pptx

4.1.2圆的一般方程,复习圆的标准方程,3.圆的标准方程的两个基本要素:是和.,1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.其中圆心坐标为C(a,b),半径为r.,2.当圆心在坐标原点上,这时a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.,圆的一般方程,研究圆的标准方程,将圆的标准方程展开,化简,整理,可得x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0,取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0.,也就是说:,任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆的一般方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,研究二元二次方程表示的图形,再将上述方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边运用配方法,得(x+)2+(y+)2=,显然是不是圆方程与是什么样的数密切相关,(1)当D2+E2-4F0时,式可化为(x+)2+(y+)2=()2,方程表示以(-,-)为圆心、以为半径的圆.,(2)当D2+E2-4F=0时,式可化为(x+)2+(y+)2=0,方程只有实数解x=-,y=-,表示一个点(-,-).,(3)当D2+E2-4F0时,式可化为(x+)2+(y+)20,方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.,圆的一般方程,得结论、给定义,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.,我们把D2+E2-4F0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程.,圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点:,(1)x2和y2的系数相同,且不等于0(2)没有xy这样的二次项.,以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.,必要不充分条件,明确指出了圆心和半径,圆的一般方程,例题分析,例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径.,分析:圆的一般方程需确定三个系数,用待定系数法.,解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为O、M1、M2三点在圆上,所以它们的坐标是方程的解,解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0.,将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52,于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5.,方法:待定系数法和配方法,圆的一般方程,例题分析,圆的一般方程,例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.,解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),半径为2.设P(x,y)是轨迹上任意一点.CPMPkCPkMP=-1,即=-1.化简得x2+y2+3x-2y-18=0,点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧.,1.补充练习:,课堂练习,注意:圆(x-a)2+(y-b)2=m2的半径是|m|.,圆的一般方程,(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半径的圆.求D、E、F的值,(2)求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆的方程.,课时小结,通过本节学习,首先要掌握圆的一般方程,能进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化.,其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活