一元二次方程与几何综合(教师版)

一元二次方程与几何综合一、教学目标知识目标：运用根的判别式及韦达定理解决与一元二次方程的根有关的几何问题，强化旋转中的基本图形和有关圆的综合题的处理方法能力目标：能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化情感目标：增强学习的信心，培养科学探究的意识二、教学重点建立一元二次方程的两根的与几何图形之间的联系三、教学难点含参一元二次方程的处理四、课时安排23课时（2小时左右）五、教学过程1.先简单回顾上节课一元二次方程综合题的基本方法，并回顾韦达定理的基本内容和含参数的一元二次方程的处理方法2.例题讲解：【例1】（20132014江岸九上起点25）（试题难度：A）参考答案：（1）；m=1（2）5000分析：（1）ABD的三边分别为，且BAD=45，故过B点做BFAD于F，在BFD中使用勾股定理可以得到a、b之间的关系式，因式分解之后得到两个结果，根据条件ab可以排除一个结果；由韦达定理可以得到a、b与m之间的两个关系式，再加上求出的结果，一共三个方程，可以把m的值求出来，得到两个解m=1和m=-3，分别算出a、b之后发现当m=-3时a、b为负值，又a、b是线段长不可能为负，故排除此解，所以m=1（2） a、b、c长度都未知，只知道BE的长，直接去求五边形各部分面积肯定行不通考虑到ABC和ADE是两个共底角顶点的等腰直角三角形，尝试使用全等将五边形ABCDE拼接成为一个与BE相关的三角形故取CD中点F，延长EF至G，使FG=EF，连接BG、CG，则EDFGCF，BAEBFG，所以五边形ABCDE的面积就等于EBG的面积，而EBG又是一个腰长为100的等腰直角三角形，问题解决另法：过E点做AB的垂线，交BA延长线于F，过D做DGAC于G，设EF=x，AF=y，证明AEFDAG，且相似比为，在BEF中使用勾股定理用a、b、x、y把BE表示出来，再把五边形ABCDE的面积表示出来，然后做整体代换，也可以求出结果，此法较复杂点评：本题（1）的两问都有两个结果，算出答案之后注意结合题目条件验证，排除掉与几何条件不符的结果；第（2）问考查了两个等腰直角三角形共底角顶点的基本图形【例2】（20132014黄陂区九上期中24改编）（试题难度：A）参考答案：（1）PA=9；（2）10分析：（1）这是一个八年级常考的图形，结论是PA=PB+PC，又由韦达定理得到PB+PC=9，问题解决给出两种证明：延长PC至D，使CD=BP，证明ABPACD；延长BP至E，使PE=PC，证明BCEACP（2）根据韦达定理不能求出p、q，所以先处理第二个式子，去掉绝对值之后可以将其因式分解，得到p=6或q=3，将两种情况都代入到韦达定理中验算，可以排除掉q=3的结果，故p=6，q=8要使PA+PB+PC最小，可以将BPC绕点B顺时针旋转60至BED，则PA+PB+PC转化为PA+PE+ED，则当PA、PE、ED共线时有最小值，即最小值为AD，因为AB=6，BD=BC=8，ABD=90，故AD=10点评：本题第（1）问考查八年级常考的图形以及韦达定理；第（2）问是一元二次方程与几何最值问题的结合阶段性小结：例1例2告诉我们，在做此类题目的时候，常常会得到多解，得到的结果一定要结合题目条件一一验证【例3】（2013武汉元调25）（试题难度：B）参考答案：（1）略；（2）；（3）0m1或-2m-1分析：（1）因为AC+CE=AE，所以只需证明CE=BC即可，因为BCCE，所以连接BE，只需证明E=30，因为E是O的圆周角，所以E是O的一半，问题得证；（2） 取中点F，连接AF、BF，则出现了一个八年级常考的图形，过F分别向AC、BC做垂线，垂足分别为G、H，则AFGBFH，故AC+BC=2AG，又因为AGAF，故AC+BC2AF=（3） 这个关于x的方程可以因式分解，可以得到x1 =b和x2 =，所以需要考虑两种情况：b的范围即AC的范围，即0到1之间；的范围可以考虑AE，当C在运动过程中，AE最短为AB，最长为O直径，这一点很容易出错，故m的取值范围有两个点评：本题第（2）问将八年级的基本图形隐藏在圆中，同时加入了最值问题；第（3）问是韦达定理与几何最值的结合，【例4】（20132014六中周练25）（试题难度：A）参考答案：（1）a+3b=10；m=（2）a=2，b=；MN最大值，最小值分析：（1）过D点分别向x轴、y轴做垂线，垂足分别为E、F，则DEBDFA，然后可以得到a、b间的关系；由韦达定理可以得到关于a、b、m的两个关系式，加上中的关系式，可以把m求出来，得到两个结果，注意其中一个结果不符合题意要舍掉；（2）用因式分解法可以得到这个方程的两根，由于A在y轴负半轴上，所以a=-2，b=，将a、b代入中，可以求出n、b，注意舍掉不符合题意的一根； 在Q中，MN所对的圆周角为一定值60，所以Q半径越大，MN越大，Q半径越小，MN越小Q点为CO1与O1的交点时，QC最小，Q点为CO1延长线与O1的交点时，QC最大，然后可以求出MN的长点评：本题是韦达定理与几何最值问题的结合阶段性小结：熟练掌握含参一元二次方程的做法是这一类题的基础，例2例3例4都涉及到了因式分解，对代数式变形的基本功有一定的要求【归纳小结】本节课你们学到了什么知识？对一元二次方程与几何综合题有什么新的认识？这类题的易错点是什么？【家庭作业】1（20132014二中、七一九上期中16改编）（试题难度：B）参考答案：（1）；（2）；（3）CD最小值为2；2分析：（1）把四边形ABCD的面积用a、b表示出来，然后结合韦达定理稍加变形即可；（2） 与（1）方法一样；（3） 分别过CD向AB做垂线，可以把CD用a、b表示出来，然后用代数方法求其最值；当CD最小时，即a=b，此时PCD是一个等边三角形，显然可以得到R=2r，或者把R和r都计算出来也可以点评：本题主要是用代数运算解决几何问题，设置（1）（2）两问给第（3）问降低了难度2（20132014六中九上期中25）（试题难度：A）参考答案：（1）A（，0）；（2）；（3）分析：（1）把半径求出来用勾股定理计算，或者直接用直角三角形射影定理计算；（2）首先由韦达定理可以得到N点坐标，发现N是中点，连接FN、GN，就成为了八年级常考的一个图形，此题迎刃而解；（3）注意到ACB=135，所以可以过A点做BC的垂线，垂足为M，用勾股定理可以把