常用导数公式

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:1.y=c(c为常数) y=02.y=xn y=nx(n-1)3.y=ax y=axlna y=ex y=ex4.y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/cos2x8.y=cotx y=-1/sin2x9.y=arcsinx y=1/1-x210.y=arccosx y=-1/1-x211.y=arctanx y=1/1+x212.y=arccotx y=-1/1+x2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中g(x）看作整个变量，而g(x)中把x看作变量2.y=u/v,y=uv-uv/v23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y=1/x证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx0y/x=0。2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=ex y=ex和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3.y=ax,y=a(x+x)-ax=ax(ax-1)y/x=ax(ax-1)/x如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+)。所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0(1+)1/=e,所以lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna。把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后得到limx0y/x=axlna。可以知道，当a=e时有y=ex y=ex。4.y=logax y=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/x)x/x y/x=loga(1+x/x)(x/x)/x因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以limx0loga(1+x/x)(x/x)logae,所以有limx0y/xlogae/x。可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。这时可以进行y=xn y=nx(n-1)的推导了。因为y=xn,所以y=eln(xn)=enlnx,所以y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。5.y=sinx y=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/2)sin(x/2) y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx6.类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cos)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x8.y=cotx=cosx/sinx y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x9.y=arcsinx x=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x210.y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x211.y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x212.y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数